Помогите доказать неравенство

[Bika]

1+1/sqrt2+1/sqrt3+...+1/sqrtn>n , n>=2

Заранее большое спасибо

[lu]

sqrt ет корень?
разве неравенство выполняется?
при n=2: 1+1/√2  =1.7 < 2
при n=3: 1+1/√2 +1/√3=2.28 < 3
...

или я не так понимаю?

[Bika]

Большое спасибо что нашли ошибку там в условии я не написала sqrt(n) с правой стороны

[Данила]

мб тут через сходимость рядов?

[Bika]

Не знаю, поясните

[lu]

оч даже может быть
∞
∑1/√(n) <√(n)
1
токо я в рядах не сильна =))

а может методом мат индукции?

для n=2   1+1/√2  =1.7 > √2=1,4
для n=k-1 предпологаем что верно 1+1/√2 +...+ 1/√(k-1) < √(k-1)
и доказываем для n=k 
1+1/√2 +...+ 1/√(k-1) < √(k-1)
1+1/√2 +...+ 1/√(k-1) + 1/√k < √(k-1) +1/√k
и надо доказать что √k < √(k-1) +1/√k
√k - 1/√k < √(k-1)
(k-1)/√k < √(k-1)  cокращаем на √(k-1)
√(k-1) /√k < 1
√(k-1) < √k  возводим и с правой и с левой стороны в квадрат
k-1<k
-1<0 верно =))

так мб?

[Данила]

а Вы не подскажете,на какой специальности это Вам дали? а от этого уже будем решать,какой метод использовать...а то понапишем Вам тут щас,а для Вас это филькина грамота )

[Bika]

Да я в школе учусь... Просто летом занимаюсь для себя. Спасибо вам всем за помощь Lu, я попробывала разные способы, но ваш, с методом мат.индукции принимаю наиболее подходящим. Народ, если будут другие идейки пишите

[ki]

Мне кажется, можно было и без индукции...
1/sqrt(1)+1/sqrt(2)+...+1/sqrt(n)>sqrt(n);
имеем право поделить все на sqrt(n):
1/sqrt(1*n)+1/sqrt(2*n)+...+1/sqrt(n*n)>1;
в левой части n слагаемых, минимальный - 1/sqrt(n*n) при условии, что n>=2(т.к. при n=1 само слово"минимальный" теряет смысл..), т.е.
1/sqrt(1*n)+1/sqrt(2*n)+...+1/sqrt(n*n)>n*(1/sqrt(n*n));
но n*1/sqrt(n*n)=1, соответственно получили
1/sqrt(1*n)+1/sqrt(2*n)+...+1/sqrt(n*n)>1; и в итоге
1/sqrt(1)+1/sqrt(2)+...+1/sqrt(n)>sqrt(n);

Если где не так, поправьте...

[lu]

вай 
я в знаках запуталась ж =))) а никто не исправил

оч даже может быть
∞
∑1/√(n) >√(n)
1
токо я в рядах не сильна =))

а может методом мат индукции?

для n=2   1+1/√2  =1.7 > √2=1,4
для n=k-1 предпологаем что верно 1+1/√2 +...+ 1/√(k-1) > √(k-1)
и доказываем для n=k 
1+1/√2 +...+ 1/√(k-1) > √(k-1)
1+1/√2 +...+ 1/√(k-1) + 1/√k > √k
1+1/√2 +...+ 1/√(k-1) + 1/√k > √(k-1) + 1/√k
и надо доказать что √(k-1) + 1/√k  > √k
√k - 1/√k < √(k-1)
(k-1)/√k < √(k-1)  cокращаем на √(k-1)
√(k-1) /√k < 1
√(k-1) < √k  возводим и с правой и с левой стороны в квадрат
k-1<k
-1<0 верно =))

[lu]

Мне кажется, можно было и без индукции...
1/sqrt(1)+1/sqrt(2)+...+1/sqrt(n)>sqrt(n);
имеем право поделить все на sqrt(n):
1/sqrt(1*n)+1/sqrt(2*n)+...+1/sqrt(n*n)>1;
в левой части n слагаемых, минимальный - 1/sqrt(n*n) при условии, что n>=2(т.к. при n=1 само слово"минимальный" теряет смысл..), т.е.
1/sqrt(1*n)+1/sqrt(2*n)+...+1/sqrt(n*n)>n*(1/sqrt(n*n));
но n*1/sqrt(n*n)=1, соответственно получили
1/sqrt(1*n)+1/sqrt(2*n)+...+1/sqrt(n*n)>1; и в итоге
1/sqrt(1)+1/sqrt(2)+...+1/sqrt(n)>sqrt(n);

Если где не так, поправьте...

так то да  методом сравнения