Контрольная по теории вероятности

[svetlyachok]

Здравствуйте! Учусь на заочном и кое-что пытаюсь нацарапать сама. Правда с переменным успехом. Надеюсь поможете мне. Заранее благодарна за любые подсказки!!!!
Задача 1. В первом магазине 7 телевизоров, из них 4 "Рекорда", во втором - 6 телевизоров, из них 3 "рекорда". Найти вероятность того, что среди двух телевизоров, купленных в разных магазинах, только 1 телевизор "Рекорд".
Мой способ решения:
Р (А)= Р(А1) - Р(А2)
Р(А1)= 4/7; Р(А2)= 3/6=1/2
Р(А)=4/7 - 1/2= 1/14
Ответ: 1/14
Задача 2. В урне 4 белых и 3 красных шаров. Из урны наугад один за другим вынимают все находящиеся в ней шары. Найти вероятность того, что последний вынутый шар окажется белым.
Мой способ решения:
Распределение вероятностей для любого шара одно и то же - что для первого, что для последнего. Следовательно, 4/7.
Ответ: 4/7
Задача 3. Цех завода производит некоторое изделие, вероятность брака при этом 0,07. При осмотре контролером брак, если он есть, обнаруживается с вероятностью 0,93. Иногда контролер допускает ошибку и бракует годное изделие, вероятность этого 0,03. За смену контролер осматривает 122 изделия, найти вероятность, что хотя бы одно из них он квалифицирует неправильно.
По этой задаче мыслей у меня нет никаких. Стыдно....

[Asix]

Решение 1-ой задачи:
Вам надо чтобы человек купил телевизор (нужный) только в одном магазине, следовательно, он купить его 1-ом и не купит во 2-ом или наоборот, купит во 2-ом, но не купит в 1-ом.
Вероятность покупк в 1-ом : 4/7
Вероятность НЕ покупки в 1-ом : 1 - 4/7 = 3/7
Вероятность покупки во 2-ом : 3/6 = 1/2
Вероятность НЕ покупки во 2-ом : 1 - 1/2 = 1/2
Итог : Р = (3/7)*(1/2) + (4/7)*(1/2) = 7/14 = 1/2

По остальным сказать сложно, день был сложный, голова болит =((

[svetlyachok]

И на этом огромное спасибо!!!!! Не болейте!!!!

[Asix]

Завтра думаю еще мысли придут.
Да, кстати, Россия ЧЕМПИОН ... поэтому голова и болит =))

[svetlyachok]

Ну это значит за бравое дело!!!!!!! )))

[SmartStudent]

Для разнообразия предлагая второй способ решения первой задачи, чисто комбинаторный аппелирующий к классическому определению вероятности: то есть надо просто найти отношение числа благоприятных исходов ко всему числу исходов

Под исходом у нас понимается выборка 2х телевизоров, точнее результат выбора.

Т. к. в одном магазине 7 телевизоров, а во втором 6 то всего 7*6 = 42 способов купить 2 телевизора из разных магазинов.

А благоприятных случает 4*3 + 3*3 = 21   ---> 21/42 = 1/2

где 4*3 соответствует ситуации где  в первом магазине покупаем рекорд, а во втором не рекорд(то есть 4 способа выбрать рекорд в первом магазине, и 3 способа выбрать не рекорд во 2ом). Второй случай соответственно наоборот.

[SmartStudent]

2ая задача

Представь, что шары пронумерованы.
пусть 1, 2, 3,4 белые и  5,6,7 красные.

тогда допустим мы вынимаешь шары, и у тебя образуется набор(перестановка)
например 1234567 соответствует тому что ты вынула 4 шара белых подряд и потом 3 красных именно в таком порядке.

Вообщем я хочу сказать, что всего (7 факториал) 7! = 1*2*4*5*6*7 = 5040 способов вытащить твои 7 шаров.

наз же интересуют перестановки, такие что последний шар белый(то есть последняя цифра 1 или 2 или 3 или 4)

всего таких перестановок 4*6!

Отношение числа благоприятных исходов к общему числу равняется

4*6!/7! = 4/7.

[SmartStudent]

Задача 3.



B - событие состоящее в том, что изделие бракованное
B* - cобытие состоящее в том, что изделие годное
P(B) = 0.07
P(B*) = 1-P(B) = 0.93

C - событие состоящее в том, что контроллер забраковал  изделие
С* - событие состоящее в том, что контроллер пропустил изделие
P(C|B*) = 0.03 (это условная вероятность, то есть она показывает вероятность того, что контроллер забракует изделие при условие того, что оно годное)
Аналогично, вероятность того, что контроллер забракует изделие, при условии, что оно действительно бракованное есть P(C|B) = 0.93

Т.к B и B* несовместные и противоположные события(то есть изделие либо бракованное, либо нет, и P(B*) + P(B) = 1). то они образуют полную систему.

По формуле полной вероятности, посчитаем вероятность того, что контроллер забракует изделие.

P(A) = P(C|B)P(B) + P(C|B*)P(B*) = 0.07*0.93 + 0.03*0.93 = 0.093
P(A*) = 1 - 0.093 = 0.907 вероятность того, что контроллер одно изделие квалифицирует правильно.


Вероятность того, что хотя бы одно квалифицирует неправильно, это 1 минус вероятность того что все классифицирует правильно.

Искомая вероятность равна 1 - (0.907)^122 = 99,999%.

[SmartStudent]

В предыдущем решение ошибка, надо так.

Задача 3.

B - событие состоящее в том, что изделие бракованное
B* - cобытие состоящее в том, что изделие годное
P(B) = 0.07
P(B*) = 1-P(B) = 0.93

C - событие состоящее в том, что контроллер забраковал  изделие
С* - событие состоящее в том, что контроллер пропустил изделие
P(C|B*) = 0.03 (это условная вероятность, то есть она показывает вероятность того, что контроллер забракует изделие при условие того, что оно годное)
Аналогично, вероятность того, что контроллер забракует изделие, при условии, что оно действительно бракованное есть P(C|B) = 0.93

X - событие состоящее в том, что контроллер неправильно квалифицировал изделие.
Контроллер неправильно  квалифицирует изделие в 2х случаях.
1) Изделие годное и он признает его бракованным.
P(C|B*) - вероятность того, что контроллер забраковал изделие при условии, что оно годное
2)Изделие бракованное и он признает его годным
P(C*|B) - вероятность того что контроллер признает годным изделие, при условии что оно бракованное.
Т.к. P(C*|B) + P(C|B) = 1 (то есть если изделие бракованное, то контроллер либо признает его годным, либо не признает
третьего не дано, поэтому сумма вероятностей равняется единице.)
то P(C*|B) = 1 - P(C|B)

то есть X можно представить в виде
X = B*С + BC*
P(X) = P(B*С) + P(BC*) = P(C|B*)P(B*) + P(C*|B)P(B)
= 0.03*0.93 + (1 - 0.93) * 0.07 = 0.03*0.93 + 0.07^2 = 0.0328


P(X) = 0.0328 вероятность того, что контроллер одно изделие квалифицирует неправильно.
P(X*) = 1 - 0.0328  = 0.9672 вероятность того, что контроллер одно изделие квалифицирует правильно.


Вероятность того, что хотя бы одно квалифицирует неправильно, это 1 минус вероятность того что все классифицирует правильно.

Искомая вероятность равна 1 - (0.9627)^122 = 98,3%.

[svetlyachok]

Оставшиеся три задачи из контрольной... 

Задача 4. Сколько раз нужно повторить испытание, чтобы с вероятностью 0,75, утверждать, что хотя бы один раз произойдет событие А, вероятность которого в каждом испытании равна 0,09?

Задача 5. Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,3. Произведено 200 выстрелов. Найти вероятность того, что мишень будет поражена не менее 60 раз.

Задача 6. Количество воды, необходимое предприятию в течение суток для технических нужд является случайной величиной, математическое ожидание которой равно 89 м^3, а среднее квадратическое отклонение – 18 м ^3. Почему нельзя применить неравенство Чебышева для оценки вероятности того, что в ближайшие сутки расход воды составит от 60 м^3 до 100 м^3? Как нужно изменить правую границу, чтобы применение неравенства Чебышева стало возможным? Решить задачу при соответствующем изменении правой границы.

[Asix]

Задача 4

Первый выстрел, вер попасть 0.09, вер промазать 0.91
Если первый не попали, то второй выстрел, вер 0.09, вер промазать 0.91, но если мы не попали в первый раз, то каждая вер домножается на 0.91, на вер промаха в первый раз.
Каждый раз мы рассматриваем наихудший вар, тоесть промазал-промазал-...-промазал-попал.
В общем сумма вероятностей данных вариантов сводится к сумме геометрической прогрессии, первый член которой = 0.09 , разность = 0.91 , сумма = 0.75.
теперь ишете формулу для суммы геометрической вероятности, подставляете данные и выводите кол-во шагов, тоесть кол-во экспериметов, которое необходимо провести для гарантированно такой вероятности попадания.

[Asix]

Задача 5

Чистая формула Бернулли, также можно исполтзовать формулу Пуассона.
Смотрим теорию и с легкостью решаем.

Задача 6

Понятия не имею, не люблю задача на теорию =((

[svetlyachok]

У меня по 5 задаче получилось какое-то решение. Проверьте правильно ли?
p- вероятность успеха= 0,3
q - вероятность неудачи = 1-0,3=0,7
k1= 60, K2=200
n- число испытаний = 200
P(60.200)=Ф(х2)-Ф(х1)
Х1=0; Х2=21,6
Р(60,200)= Ф(21,6)-Ф(0)= 0,5-0=0,5
Ответ:0,5

[Asix]

Не совсем понял, что Вы имеете в виду. Распишите по-подробнее Ваши мысли и действия.
Можете посмотреть аналогичные мысли здесь.

[SmartStudent]

Да правильно.

применим формулу Муавра лапласа,


рекомендуется применять при n > 100 и npq > 20.!!!
Считаем

np = 200*0.3 = 60
npq = 60*0.7=42

корень(npq) = 6,48
m2 = 200
m1 = 60

a = (m2-np)/корень(npq) = (200 - 60)/6.48 = 21.6
b=  (m1-np)/корень(npq) = 0


P(m1<m<m2) = Ф(a) - Ф(b) = (1/корень(2пи))*Интеграл_от_a_до_б(exp(-x^2/2)dx) = 0.5