Пример на правило Лопиталя

[annkhlous]

Привет всем!!!
Помогите пожалуйста понять, как решать примеры на это правило.
Посмотрите пожалуйста, где именно у меня ошибка и как вообще прийти к ответу?
Не вечно же мне брать производные?

[Nikgamer]

Нельзя тут лопиталить, у вас производные обе бесконечны.
\( \lim_{x\rightarrow 0}sin(x)^x = \lim_{x\rightarrow 0}e^{x*ln(sin(x))} \)

Рассмотрим отдельно предел \( \lim_{x\rightarrow 0}x*ln(sin(x)) \)

\( \lim_{x\rightarrow 0}x*ln(sin(x))=\lim_{x\rightarrow 0}x*ln(x+o(x)) \) вы же ведь знаете разложение синуса в ряд, при \( x\rightarrow 0 \)?

А теперь вам осталось доказать, что \( \lim_{x\rightarrow 0}x*ln(x)=0 \). вот это как раз можно по правилу лопиталя доказать. Тогда ваш исходный предел равен...?