Помогите, пожалуйста, осилить дифференциальные уравнения

[DeadChild]

Добрый вечер!
Очень нужна помощь с дифференциальными уравнениями.
К какому виду они относятся? С чего нужно начать? Как определяются области существования?
Определить области существования и единственности решения задачи Коши для уравнений
1) \( (x-2y+5)dx+(2x-y+4)dy=0 \);
2) \( 2y'sinx+ycosx=y^3sin^2x \).
Найти общее решение.

[Dlacier]

Это обыкновенные дифференциальные уравнения, никак не задачи Коши (нет начальных условий).
Какую-нибудь литературу читали?
Для начала хотелось бы увидеть ваши мысли.

[Nikgamer]

Это обыкновенные дифференциальные уравнения, никак не задачи Коши (нет начальных условий).

Для существования и единственности решения ур-я \( y'=f(x,y) \) необходимо и достаточно два условия:
1) \( f(x,y) \) - непрерывна.
2)\( f'_y(x,y) \) - неперрывна.
Тогда в замкнутой области, в которой это выполняется, это уравнение будет иметь единственное решение.

[Nikgamer]

Насчет общих решений
1) Вы уверены, что условие написали верно? Просто там чуть-ли не напрашивается метод полных дифференциалов. а так придется возиться с интегральным множителем. Я сейчас просто с телефона пишу, до дома доеду - соображу.
2) Сделайте замену \( z=y^{-2} \)
В результате вы сведет уравнение к так называемому уравнению Бернулли. Дальше сами гуглите, метод Бернулли широко известный.

[DeadChild]

\( (x-2y+5)dx+(2x-y+4)dy=0\,(*) \)
Уравнение \( (*) \) имеет вид \( P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 \)
\( P(x,y)=x-2y+5 \)
\( Q(x,y)=2x-y+4 \)
Это однородные функции первой степени, следовательно уравнение \( (*) \) - однородное уравнение.
Делаем замену \( z=\frac{y}{x} \) \( \Rightarrow \) \( y=x\cdot z \). От y избавляемся; в новом уравнении будут x и z.

Нас вот так учили...

[Nikgamer]

Это не однородное уравнение. Но к однородным можно свести.
запишите это в таком виде \( y'=\frac{-x+2y-5}{2x-y+4} \)
теперь сделайте замену
\( t=x+1 \)
\( u=y-2 \)
Получите, что
\( \frac{du}{dt}=\frac{-t+2u}{2t-u} \) которое очевидной заменой сводится к однородному.

[DeadChild]

\( (x-2y+5)dx+(2x-y+4)dy=0 \) \( (*) \)
Найдем области единственности уравнения \( (*) \)
\( P(x,y)=x-2y+5 \)
\( Q(x,y)=2x-y+4 \)
\( P_{x}'(x,y)=1 \)
\( P_{y}'(x,y)=-2 \)
\( Q_{x}'(x,y)=2 \)
\( Q_{y}'(x,y)=-1 \)
На плоскости \( O_{xy} \) ищем области, где непрерывны эти 6 функций.
И что же это будет?

[DeadChild]

А у нас \( P_{y}'\neq Q_{x}'\Rightarrow \) наше уравнение (*) не в Полных Дифференциалах?

[Nikgamer]

А у нас \( P_{y}'\neq Q_{x}'\Rightarrow \) наше уравнение (*) не в Полных Дифференциалах?

Нет, не в них. Я написал вам метод решения - следуйте ему, ответ гарантировано получится.

[Nikgamer]

\( (x-2y+5)dx+(2x-y+4)dy=0 \) \( (*) \)
Найдем области единственности уравнения \( (*) \)
\( P(x,y)=x-2y+5 \)
\( Q(x,y)=2x-y+4 \)
\( P_{x}'(x,y)=1 \)
\( P_{y}'(x,y)=-2 \)
\( Q_{x}'(x,y)=2 \)
\( Q_{y}'(x,y)=-1 \)
На плоскости \( O_{xy} \) ищем области, где непрерывны эти 6 функций.
И что же это будет?

А почему вы отдельно оба полинома рассматриваете? Я разве так писал делать?

[DeadChild]

Это не однородное уравнение. Но к однородным можно свести.
запишите это в таком виде \( y'=\frac{-x+2y-5}{2x-y+4} \)
теперь сделайте замену
\( t=x+1 \)
\( u=y-2 \)
Получите, что
\( \frac{du}{dt}=\frac{-t+2u}{2t-u} \) которое очевидной заменой сводится к однородному.

Какую замену тут делать? Никак не пойму...

[lu]

 \( (x-2y+5)dx+(2x-y+4)dy=0 \)
\( y'=\frac{-x+2y-5}{2x-y+4} \)

уравнение I порядка, сводящееся к однородным
\( y'=\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2} \)
\( c_1\ne c_2 \)
\( \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}=-3\ne 0 \)
замена:
\( x = u+h  \)
\( y = v+k  \)
,где
\( u,v \) - новые переменные \( h,k \)-новые константы
\( v'=\frac{-(u+h)+2(v+k)-5}{2(u+h)-(v+k)+4} \)

\( v'=\frac{-u+2v+(-h+2k-5)}{2u-v+(2h-k+4)} \)
потребуем, чтобы
\( -h+2k-5=0 \)
\( 2h-k+4=0 \)
решая, получаем h=-1, k=2
поставляем эти значения в нашу замену:
\( x = u-1  \)
\( y = v+2  \)
и наше дифф уравнение принимает вид
\( v'=\frac{-u+2v}{2u-v} \)
подстановка : \( z=\frac{v}{u} \)  \( v=z\cdot u \)   \( v'=z'u+z \)
\( z'u+z=\frac{-u+2zu}{2u-zu} \)
\( z'u=\frac{-1+z^2}{2-z} \)
\( \frac{2-z}{-1+z^2}dz=\frac{du}{u} \)

[DeadChild]

Я почти так же решала сегодня... Дошла до интеграла \( \int \frac {(z-2)dz}{z^2-1} \) Как его вычислить?)

[tig81]

Я почти так же решала сегодня... Дошла до интеграла \( \int \frac {(z-2)dz}{z^2-1} \) Как его вычислить?)

1. Метод неопределенных коэффициентов.
2. \( \frac {z-2}{z^2-1}=\frac {z-1-1}{(z-1)(z+1)}=\frac {1}{z+1}-\frac {1}{z^2-1} \)

[lu]

ну на два интеграла можно разделить и там табличные получаются