Как найти производную по направлению???

[DeadChild]

Помогите, пожалуйста, решить задание.
Найти производную функции \( z=x^3-3y^2 \) в точке \( A(0,1) \) по направлению касательной к кривой \( 2xy-x^2=1 \) в точке \( (1,1) \).
Формулы есть, но не могу понять что и как делать...

[tig81]

Показывайте формулы и что вы по ним разобрались как считать.

[DeadChild]

Показывайте формулы и что вы по ним разобрались как считать.

Как мне сказали это направление:
\( L=(cos\alpha,cos\beta,cos\gamma) \).
\( \frac{\partial u}{\partial l}=\frac{\partial u}{\partial x}\cdot cos\alpha+\frac{\partial u}{\partial y}\cdot cos\beta+\frac{\partial u}{\partial z}\cdot cos\gamma \)
\( grad\,u=(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial z}) \)
\( \frac{\partial u}{\partial l}=(grad\,u;\bar{e}) \) Величина:\( \|grad\,u\|=\sqrt{(\frac{\partial u}{\partial x})^2+(\frac{\partial u}{\partial y})^2+(\frac{\partial u}{\partial z})^2} \)
Ну и что мне с этим делать? Подскажите что дифференцировать, что подставить, а то я совсем запуталась... 

[tig81]

Помогите, пожалуйста, решить задание.
Найти производную функции \( z=x^3-3y^2 \) в точке \( A(0,1) \)

Посмотрите пример, а то у вас какие-то страшные формулы записаны.

по направлению касательной к кривой \( 2xy-x^2=1 \) в точке \( (1,1) \).

Это нашли? Т.е. надо узнать направляющий вектор данной прямой.

[DeadChild]

Единственное, что я смогла сделать это \( \frac{\partial z}{\partial x}=3x^2,\,\frac{\partial z}{\partial y}=-6y. \)
\( A(0,1):\frac{\partial z}{\partial x}=0,\,\frac{\partial z}{\partial y}=-6. \) Куда это? И что мне с касательной делать?

[tig81]

по направлению касательной к кривой \( 2xy-x^2=1 \) в точке \( (1,1) \).

Т.е. кривую можно переписать в виде: \( y=\frac{x^2+1}{2x} \). Касательную к ней в заданной точке сможете найти?
На всякий случай, уравнение касательной имеет вид: \( y-y_0=y^{'}(x_0)(x-x_0) \)
Далее находите направляющий вектор касательной (в примере это вектор \( \bar{AB} \)) и далее все найденные величины подставляете в формулу.

[DeadChild]

\( y-y_0=y^{'}(x_0)(x-x_0) \)

А \( x_{0},\,y_{0} \) это координаты точки \( (1,1) \)?

[tig81]

А \( x_{0},\,y_{0} \) это координаты точки \( (1,1) \)?

Да. В точке, в которой ищется касательная.

[DeadChild]

\( y'=\frac{x^2-1}{2x^2} \)
\( y-1=y'(1)(x-1) \)
\( y'(1)=0 \) \( \Rightarrow \)
\( y-1=0 \)

[tig81]

\( y'=\frac{x^2-1}{2x^2} \)
\( y-1=y'(1)(x-1) \)
\( y'(1)=0 \) \( \Rightarrow \)\( y-1=0 \)

так
Тогда направляющий вектор данной прямой \( \bar{a}=(1; 0) \) (т.к. прямая параллельна оси Ох). Находите направляющие косинусы и подставляйте.

[DeadChild]

Если я правильно поняла, то вот...
\( \bar{a}=(1,0)=1i-0j \)
\( \mid a\mid=1 \)
\( s=\frac{\bar{a}}{\mid \bar{a}\mid}=icos\alpha+jcos\beta=1i \)
\( cos\alpha=1;\,cos\beta=0 \)

[tig81]

Похоже на правду.

[DeadChild]

Надо вроде было уравнение написать... Что в итоге то получилось?

[tig81]

Надо вроде было уравнение написать... Что в итоге то получилось?

\( \frac{\partial z}{\partial \bar{a}}(A)=\frac{\partial z}{\partial x}(A)cos{\alpha}+\frac{\partial z}{\partial y}(A)cos{\beta} \)
Подставляйте все найденные величины

[DeadChild]

\( \frac{\partial z}{\partial \bar{a}}(A)=\frac{\partial z}{\partial x}(A)cos{\alpha}+\frac{\partial z}{\partial y}(A)cos{\beta} \)
Подставляйте все найденные величины

Если совсем все подставить, то вот что получается:
\( \frac{\partial z}{\partial \bar{a}}(A)=0\cdot 1+6\cdot 0 \)