Подскажите формулу для вычисления координаты центра масс

[NELL]

По какой формуле можно вычислить координаты центра масс однородной объемной фигуры, если заданы его контуры в декартовой системе координат?

[InfStudent]

Гугл ваш друг

[NELL]

Гугл плохой друг, не могу найти

[Dlacier]

а такой вопрос, вам для чего нужно?

Википедия:
"Положение центра масс (центра инерции) в классической механике определяется следующим образом:

\(  \vec r_c= \frac{\sum \limits_i \vec r_i m_i}{\sum \limits_i m_i}, \)

где
\( \vec r_c \)  — радиус-вектор центра масс,
 \( \vec r_i  \)— радиус-вектор ''i''-й точки системы,
\( ~ m_i \)  — масса ''i''-й точки."

[NELL]

Да задачка такая "Вычислить координаты центра масс однородного контура сферического треугольника x^2+y^2+z^2=1, x>=0, y>=0, z>=0" Тут эта формула не катит. Есть какая-то формула (я не могу вспомнить, какая) с тройным интегралом. Вернее дробь, в числителе какой-то тройной интеграл, и в знаменателе тоже какой-то тройной интеграл.

[Dlacier]

вот что нашла
\( m=\iiint \rho (x,y,z) dxdydz \)
\( x_0=\frac{1}{m} \iiint x\rho(x,y,z) dxdydz \)
\( y_0=\frac{1}{m} \iiint y\rho(x,y,z) dxdydz \)
\( z_0=\frac{1}{m} \iiint z\rho(x,y,z) dxdydz \)

в вашем случае лучше к сферическим координатам перейти

[NELL]

Спасибо! Дальше сама )))

[Semen_K]

У меня по ходу вопрос, как не очень сведущего в этой конкретной области? Зачем нужно использовать тройные интегралы, если нам просто нужно определить центр масс 1/8 шара. Не проще ли использовать более простые способы. Например, теорему Гульдена. Об объеме тела вращения, которым в данном случае является четверть окружности. Или просто я чего то не понимаю. Ведь в этом случае достаточно определить центр тяжести этого сектора окружности и все.

[NELL]

Я не знакома с данной теоремой, возможно и проще. Просто у меня контрольная по тройным интегралам и полагаю что в данном случае надо решать с их помощью. А теорему я посмотрю.

[NELL]

Я нашла: Теоремы Гульдена.
Теорема 1. Площадь поверхности, полученной при вращении дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости этой кривой и не пересекающей ее, равна длине дуги кривой, умноженной на длину окружности, описанной центром тяжести дуги.

Теорема 2. Объем тела, полученного при вращении плоской фигуры вокруг оси, не пересекающей ее и расположенной в плоскости фигуры, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести фигуры.

Для определения объема тела эта теорема подходит. То есть, в моем случае, данная теорема подходит только для определения m (первый интеграл), а для остальных эти теоремы вовсе не подходят. Ведь в 2-4 формулах интегралы, с точки зрения физики, статические моменты тела относительно координатных плоскостей. А это совсем друое.

[Dlacier]

верно, центр масс и центр тяжести разные вещи.)

[NELL]

В принципе, в механике это одно и то же

[Dlacier]

В принципе, в механике это одно и то же

частные случаи. из Википедии:
"...понятия центр масс и центр тяжести совпадают при использовании этих терминов в геометрии, статистике и тому подобных областях, где применение его по сравнению с физикой можно назвать метафорическим и где неявно предполагается ситуация их эквивалентности (так как реального гравитационного поля нет и не имеет смысла учёт его неоднородности). В этих применениях традиционно оба термина синонимичны, и нередко второй предпочитается просто в силу того, что он более старый"

[NELL]

Так я о чем и говорю. В классической механике, динамике поле силы гравитации земли считается однородным и нет смысла делить эти понятия. Ну и при решении данной задачи тем более нет смысла разделять эти понятия.

[Dlacier]

Так вы решили?)