помогите найти общий член последовательности

[ttasdasda]

нужно найти общий член последовательности, заданной рекуррентным соотношением второго порядка:
x_(n2) = X_(n+1) + 2X_n
x1 = 18
x2 = 19

долго гуглил по этой теме, но нигде не говорится о том как получить общий член с помощью рекуррентного сообщения иначе как интуитивно.

[tig81]

Почти как последовательность фибоначчи.

Пример

[ttasdasda]

ок, допустим я вычисляю это характеристическое уравнение q^2-q-2, получаются два корня, 2 и -1

поставляю двойку в указанную формулу, получается
-(1/3)*((-1)^n - 2^n)
верно?
а что в примере дальше делается?

[tig81]

-(1/3)*((-1)^n - 2^n)
верно?

Не нзаю, показывайте решение полностью, тогда скажу.

а что в примере дальше делается?

Где именно дальше?

[ttasdasda]

ну
X_n2 = X_n+1 + 2_n
решаем хар. уравнение
q^2 - bq - c = 0
b = коэффициент при первом члене (X_n+1), то есть 1, c = коэффициент при втором члене n, то есть 2.
D=b^2 - 4ac = 1 + 8 = 9
q1 = (-b + sqrt(9))/2a = (-1 + 3)/2 = 1
q2 = (-b - sqrt(9))/2a = (-1-3)/2 = -2

подставляем любой член в формулу из ссылки
(1/(b-2q)) * ((b-q)^n -q^n) = (1/(1-2*1)) * ((1-1)^n - 2^n) = -(-2^n) = 2^n

так?

[tig81]

(1/(b-2q)) * ((b-q)^n -q^n) = (1/(1-2*1)) * ((1-1)^n - 2^n) = -(-2^n) = 2^n
так?

Вы подставили 1 или -1?

После пересчета и исправления ошибок:
1. Это вы нашли \( x^{'}_n \)
2. Общий член заданной последовательности:
\( x_{n+2}=x_2\cdot x^{'}_{n+1}+c\cdot x_1\cdot x^{'}_n \)
3. Чтобы записать \( x_n \) в предыдущем равенстве \( n \) заменяете на \( n-2 \)

[ttasdasda]

в упор не вижу где я перепутал 1 и -1, разве что после пересчета у меня получилось 1^n ) наверное очень сильно туплю

[tig81]

в упор не вижу где я перепутал 1 и -1, разве что после пересчета у меня получилось 1^n ) наверное очень сильно туплю

D=b^2 - 4ac = 1 + 8 = 9
q1 = (-b + sqrt(9))/2a = (-1 + 3)/2 = 1
q2 = (-b - sqrt(9))/2a = (-1-3)/2 = -2

В этом посте не посмотрела, опиралась на более раннее ваше решение.
Для уравнения q^2-q-2=0 чему равно b? В данном случае корни найдены неверно. Ранее вы писали, что получили корни -1 и 2, это правильно. Поэтому \( x^{'}_n \) будем иметь иной вид.

[ttasdasda]

спасибо, все понял )

тогда еще один вопрос не по теме. в задании написано

"Доказать с помощью определения, что число 2 является пределом последовательности x=(2n+1)/(n+19)".

как понять "доказать с помощью определения"? то есть просто посчитать этот предел нельзя? тк он сам по себе элементарен

[tig81]

спасибо, все понял )

Обязательно сделайте проверку, вам сами члены последовательности известны ведь.

"Доказать с помощью определения, что число 2 является пределом последовательности x=(2n+1)/(n+19)".
как понять "доказать с помощью определения"?

Посмотрите пример

то есть просто посчитать этот предел нельзя? тк он сам по себе элементарен

Раз элементарен, то посчитать нельзя? Можно, но надо по определению предела.