Олимпиадные задачи для 8-9 класса

[Volandos]

Помогите пожалуйста решить задачки! Просьба выложить с решением так как я давно не решал олимпиадные задания и хотел бы заново научиться их решать.
1) Что больше
   а) 2³⁰⁰ или 3²⁰⁰?
   б) 2³¹⁰⁰ или 3²¹⁰⁰?

2) Известно, что (а+1\а)=3
   Найти а⁸+1\а⁸.

3) Средний возраст одиннадцати футболистов - 22 года. Во время игры один из футболистов получил травму и ушел с поля. Средний возраст оставшихся игроков стал 21 год. Сколько лет футболисту, ушедшему с поля?

4) В треугольнике АВС угол А=60^о. Доказать, что основания C₁ и B₁ его высот СС₁ и ВВ₁ и середина А₁ стороны ВС являются вершинами Равностороннего треугольника.

5) Точки M и N - середины сторон ВС и АD параллелограмма АВСD. Доказать, что прямые АM и CN делят диагональ BD на три равные части.

6) Вы купили лотерейный билет, у которого сумма цифр его пятизначного номера равна возрасту вашего соседа. Каков номер того билета?

7) Найти два числа отношение которых 3, а отношение суммы квадратов этих чисел к их сумме равно 5.

[testtest]

1. а) конечно \( 3^{200} \).
    а) конечно \( 2^{3^{100}} \).

[testtest]

3. 32 года.

[testtest]

7. 2 и 6

[Volandos]

3)32 года потому, что 22*11-21*10=242-210=32(года) это понятно
1) Вот почему а) 3²⁰⁰>2³⁰⁰  ( на калькуляторе так и есть но как обьяснить?)
                    б) 2³¹⁰⁰>3²¹⁰⁰

[testtest]

1. а) \( 3^2 > 2^3 \)
    б) по тем же соображениям. \( \left(\frac23\right)^{100} \) - очень маленькое число, куда меньше, чем 1

[Львёнка]

Помогите пожалуйста решить задачки! Просьба выложить с решением так как я давно не решал олимпиадные задания и хотел бы заново научиться их решать.
1) Что больше
   а) 2³⁰⁰ или 3²⁰⁰?
  

Я бы тут объяснила как: 2³⁰⁰=8¹⁰⁰, а 3²⁰⁰=9¹⁰⁰ И как результат, то число с одинаковыми степенями больше, у которого возводимое число в степень выше.

[testtest]

а второе как объяснишь?

[Hermiona]

Помогите пожалуйста решить задачки! Просьба выложить с решением так как я давно не решал олимпиадные задания и хотел бы заново научиться их решать.
2) Известно, что (а+1\а)=3
   Найти а⁸+1\а⁸.

люблю такие задания))))
2.   (а+1\а)=3, то (а+1/а)²=9 и а²+1/а²=9-2=7 (т. к. а²+2*а*1/а+1/а²=9)
Затем нужно снова возвести в квадрат а²+1/а² и найти а⁴+1/а⁴. и т. д. до а⁸

В итоге получается 47*47-2. еслия я не напутала ничего)

[Аnastasion]

(B оригинале эта задача звучит так: Я купил лотерейный билет, у которого сумма цифр его пяти-
значного номера оказалась равна возрасту моего соседа. Определите
номер этого билета, если известно, что мой сосед без труда решил эту
задачу.)

Заметьте, в билете не может быть двух неравных цифр.

Номер билета 99 999.

Номер билета — 99999. Если бы в билете были хотя бы две
неравные цифры, то их можно было бы поменять местами и сосед
не смог бы наверняка решить задачу. Если же все цифры равны,
но меньше 9, всегда есть возможность одну цифру увеличить на 1,
другую — уменьшить, т. е. имеется дополнительный вариант решения.
И только в случае, когда соседу 45 лет и номер билета 99999, — ре-
шение получается единственным

[Завада]

3.  (21 * 10 + х)/11 = 22  

7. х/у = 3;  (х² + у²)/(х + у) = 5

[Элиан]

3)32 года потому, что 22*11-21*10=242-210=32(года) это понятно
1) Вот почему а) 3²⁰⁰>2³⁰⁰  ( на калькуляторе так и есть но как обьяснить?)
                    б) 2³¹⁰⁰>3²¹⁰⁰

1)Потому что  300 это     3 100
                           2            (2  )
                        а    200 это     2 100
                           3             (3  )
а Т.к      100     100 ,то    300      200
         (8)   <   (9)         2       < 3

[Элиан]

7. 2 и 6

Как решил?