Убедившись в том,что прямые пересекаются, найти их точку пересечения

[Selena]

Дана система уравнений:
х+y-z+4=0
2х-3y-z-5=0

и  (х+3)/4=(y+3)/1=(z-1)2
пожалуйста, объясните план решения такого типа задачи. Как найти пересекаются ли прямые? Какое условие должно выполняться или не выполняться?

[tig81]

Вас в гугле забанили?
Условие

[Selena]

Да я чего-то туплю сильно уже второй день по вечерам, набирала в гугле,но видимо как-то не так писала фразы, выдавалось по поиску всё не то.

Я правильно поняла, что первое что мне надо сделать, это первую прямую привести уравнение к каноническому виду. А потом по Вашей ссылке уже по п.2?

[tig81]

Да я чего-то туплю сильно уже второй день по вечерам, набирала в гугле,но видимо как-то не так писала фразы, выдавалось по поиску всё не то.

Возможно

Я правильно поняла, что первое что мне надо сделать, это первую прямую привести уравнение к каноническому виду.

Необязательно. Достаточно найти направляющие коэффициенты прямой+точку, через которую она проходит.
Посмотреть, ка находить направляющие коэффициенты прямой, можно, например, в книге Каплана "Практические..."  В сети есть. Либо, по-моему, можно посмотреть в Цубербиллер либо в задачнике Клетенник

А потом по Вашей ссылке уже по п.2?

п. 2 в)

[Selena]

Что-то туго даётся мне это задание. Вот к чему пришла:
х+y-z+4=0
2x-3y-z-5=0

Принимаем z=0, тогда
х+y+4=0
2x-3y-5=0

Умножим первое уравнение на -2 и сложим со вторым,получаем:
-5y-13=0 выражаем отсюда y=-13/5 Получаем х=-7/5
Проверила эти значения, подставив в 2 уравнения, равенства выполняются.
Получили точку M₁ (-7/5; -13/5; 0)

нормали:
N₁ (1;1;-1)
N₂ (2;-3;-1)

N₁*N₂=
i   j    k
1  1  -1
2 -3  -1  = (-1-3)i- (-1+2)j+(-3-2)k=-4i-j-5k

a₁=(-4;-1;-5)
a₂=(4;1;2)
M₂=(-3;-3;1)
M₁M₂=(-3+7/5; -3+13/5;1)

проверяем условие, при котором прямые пересекаются:
-4     -1    -5
4       1      2
-8/5 -2/5   1   = -4 (1+4/5)- (4+16/5)-5(-8/5+8/5)=-36/5-36/5 где ошибка

[testtest]

почему принимаем z = 0?
лучше будет преобразовать канонический вид к виду \( Ax + By + Cz + D = 0 \). то есть
\( \left\{\begin{array}{l}
\frac{x+3}4=\frac{y+3}1\\ \frac{y+3}1=\frac{z-1}2
\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}
x+3=4y+12\\ 2y+6=z-1
\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}
x-4y-9=0\\ 2y-z+7=0
\end{array}\right. \Rightarrow \)
складываешь уравнения
\( \Rightarrow x - 2y - z - 2 = 0 \)
получаешь систему
\(
\left\{\begin{array}{l}
x+y-z=-4\\ 2x-3y-z=5\\ x-2y-z=2
\end{array}\right.
 \)

или что то же самое
\(
\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -1\\2 & -3 & -1\\1 & -2 & -1
\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}
x\\ y\\ z
\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}
-4\\ 5\\ 2
\end{array}\right)
 \)
находишь определитель матрицы, и если он не 0, решение существует. решаешь СЛАУ - находишь точку пересечения.

[Selena]

testtest

посчитала определитель матрицы  по Вашему решению он равен 3 странно получается, задание звучит так :"убедившись в том,что прямые пересекаются.."
То есть из такой подачи задания я думала,что они в любом случае будут пересекаться и нам лишь первым шагом надо это доказать(убедиться).

По своему способу z я приняла равным 0, потому что нашла похожее решение , в котором одну из переменных принимали за 0.
Кстати пересчитала определить своей матрицы, у меня там ошибка оказалась,правильно так будет:
-4     -1    -5
4       1      2
-8/5  -2/5   1

= -4 (1+4/5)+(4+16/5)-5(-8/5+8/5)=-36/5+36/5=0

То есть по моему способу я вроде как доказала,что они пересекаются, так как определить равен 0.

Рассудите нас кто-нибудь, пожалуйста.

[Selena]

Ну, пожалуйста, подскажите как все-таки правильно решить эту задачу

[testtest]

бери мой способ

[Selena]

неее, еще раз просмотрела несколько ссылок.Мой способ правильный
Вот к примеру, ссылки ,где есть примеры с решением моим:
http://www.toehelp.ru/theory/math/lecture19/lecture19.html
http://www.mathelp.spb.ru/book1/line_in_space.htm
А z я приняла 0, вот почему:
"Проще всего выбрать точки пересечения прямой с координатными плоскостями. Например, точку пересечения с плоскостью xOy получим из уравнений прямой, полагая z= 0"

Также можно было взять и х за 0 и y.
Вот только у меня теперь проблема со второй частью задания.Как найти точку пересечения двух прямых. (Если они заданы канонически).

[Selena]

решила дальше следующим образом:
Так как определитель равен нулю, из этого следует,что данные прямые лежат в одной плоскости. Но они могут быть там параллельны, а могут пересекаться.
По условию параллельности должны быть коллинеарны из векторы направляющие:
а1 {-4;-1;-5}
a2 {4;1;2}

-4/4=-1
-1/1=1
-5/2=-2,5 следовательно они не коллинеарны, следовательно пересекаютсЯ!

Далее переписала прямые в параметрические уравнения. Параметрическое уравнение 1 прямой:
х1=-7/5-4t
y1=-13/5-t
z1=0-5t

Параметрическое 2-ой прямой:
х2=-3+4t`
y2=-3+t`
z2=1+2t`

приравняла правые части этих уравнений:
-7/5-4t=-3+4t`
-13/5-t=-3+t`
-5t=1+2t`

из последнего равенства выразила t`= (-5t-1)/2

подставила в два верхних равнества:
-7/5-4t=-3-10t-2
-13/5-t=-3+ (-5t-1)/2

получила:
6t=-18/5
3t=-9/5

в итоге t=-3/5

подставила в выражения для х,y,z  :
x=-7/5-4*(-3/5)=-7/5+12/5=1
y=-13/5+3/5=-2
z=-5*(-3/5)=3

Подставила (1,-2,3) в первоначальные уравнения равенства выполнились.

Я правильно всё решила??

[Nikgamer]

Чем вам решение тестест не нравится? Оно верное же.
Ну а то, что вы берете z=0, означает, что вы просто не понимаете, что делаете. У вас уравнения

\( x+y-z+4=0 \)
\( 2x-3y-z-5=0  \)

описывают пересечение двух заранее заданных плоскостей. Иначе говоря, это такой способ задания уравнения прямой, удобный иногда.  

[Nikgamer]

Чем вам решение тестест не нравится? Оно верное же.

Хотя нет, я изучил его детально и пришел к выводу, что оно неправильное. У нас же там получится четыре уравнения на три неизвестных, а не три как у вас, так что ничего кроме как решать вручную тут не придумаешь.

[Selena]

Чем вам решение тестест не нравится? Оно верное же.
Ну а то, что вы берете z=0, означает, что вы просто не понимаете, что делаете. У вас уравнения

\( x+y-z+4=0 \)
\( 2x-3y-z-5=0  \)

описывают пересечение двух заранее заданных плоскостей. Иначе говоря, это такой способ задания уравнения прямой, удобный иногда.  

Я понимаю,что это способ задания прямой,как пересечение двух плоскостей.

И теперь уже я понимаю почему беру z=0, мне это необходимо для первой части задания, для того,чтоб найти на первой прямой (заданной плоскостями) точку и направляющий вектор и убедится в дальнейшем,что прямые пересекаются.

Ну так что скажете, вроде как всё из лекций брала..весь свой вывод и решение.

[Selena]

Ну проверьте кто-нибудь мое решение,пожалуйста. Скажите, если оно в корне неправильное.