Помогите вычислить интеграл...плз

[zRapid]

плиз пмогите найти следующие интегралы, по возможности напишите каким способом это делали или выложите решение....буду оч признателен




видел что эти интегралы решали каким то странным способом, там разделяют на дроби типа A/x + B/x + C/x вот на такие штуки....как это делать и по какому принципу, не понял

[Dlacier]

Да, есть такой способ. Теорию можно посмотреть в книги Фихтенголца Том 2 стр 274.
Но некоторые ваши примеры можно решить по другому.
Распишу первый, а дальше только при наличии ваших мыслей и попыток решений.
\( \int\frac{3x^2+2x-3}{x(x-1)(x+1)}dx=\int\frac{3x^2-1+2(x-1)}{x(x-1)(x+1)}dx= \)
\( =\int\frac{d(x^3-x)}{x^3-x}+2\int\frac{1}{x(x+1)}dx= \)
\( =\int\frac{d(x^3-x)}{x^3-x}-2\int\frac{x-(x+1)}{x(x+1)}dx= \)
\( =\int\frac{d(x^3-x)}{x^3-x}-2\int\frac{dx}{x+1}+2\int\frac{dx}{x}= \)
\( =\ln \left|\frac{(x-1)x^3}{x+1}\right| \)

[tig81]

\( =\ln \left|\frac{(x-1)x^3}{x+1}\right| \)

+С. 

[Dlacier]

\( =\ln \left|\frac{(x-1)x^3}{x+1}\right| \)

+С. 

О, да!!! как я могла забыть...( 

[tig81]

О, да!!! как я могла забыть...( 

Сама такая же.

[zRapid]

ээээ как бе с кое-с-чем разобрался но 14 задание решить ну никак не могу....нашел даже решение о сокурсников, но не разобрался что там к чему....помогите плиз.... 14 задание из первого поста....  подскажите какие еще есть способы решения ..........вот фотка решения у сокурсников....   

[tig81]

Посмотрите "Интегрирование рациональных функций" и "Метод неопределенных коэффициентов"
А также здесь и далее примеры

[zRapid]

может возможно решить задание другим методом.....т.к по ссылке я ничего не понял

[tig81]

Возможно и есть,но я не знаю. Здесь надо раскладывать на элементарные дроби.

[Dlacier]

задавайте конкретные вопросы, что именно не понимаете, постараемся объяснить.)
а другого решения я тоже не знаю.)

[lu]

попытаюсь объяснить на примере...
\( \int\frac{3x^2+2x-3}{x(x-1)(x+1)} \)
смотрим: степень многочлена, который стоит в числителе, меньше степени многочлена знаменателя, то есть можно просто разложить на простейшие дроби,
разделяем на три дроби, и в знаменателях получаем многочлены первой степени, отсюда в числителях будут стоять многочлены нулевой степени  - числа
\( \int\frac{3x^2+2x-3}{x(x-1)(x+1)}=\int{\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1}} \)
теперь правую часть равенства мы должны записать под общий знаменатель
\( \frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1}=\frac{A(x-1)(x+1)+Bx(x+1)+Cx(x-1)}{x(x-1)(x+1)}=\frac{3x^2+2x-3}{x(x-1)(x+1)} \)
\( A(x^2-1)+B(x^2+x))+C(x^2-x)=3x^2+2x-3 \)
и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях:
\(  x^2: A+B+C=3 \)
\(  x^1: B-C=2 \)
\(  x^0: -A=-3 \)
\( A=3, B=1,C=-1 \)
\( \int\frac{3x^2+2x-3}{x(x-1)(x+1)}=\int\frac{3}{x}+\int\frac{1}{x-1}-\int\frac{1}{x+1}=3\ln{x}+\ln{x-1}-\ln{x+1}=\ln{\frac{x^3(x-1)}{x+1}} \)

ну типа алгоритм общий такой)

если например будет такой пример
\( \frac{3x^2+2x-3}{(x^2+1)(x+1)} \)
то
\( \frac{3x^2+2x-3}{(x^2+1)(x+1)}=\frac{Ax+B}{(x^2+1)}+\frac{C}{x+1} \)
\( \frac{3x^2+2x-3}{(x^3+1)(x+1)}=\frac{Ax^2+Bx+C}{(x^3+1)}+\frac{D}{x+1} \)
в общем в числителе обычно будем ставить многочлен степенью меньше на 1 от многочлена знаменателя, а в остальных случаях, например когда степень числителя больше знаменателя, подбираем эти многочлены, чтоб когда мы будем записывать под один знаменатель получили изначальный числитель. а вообще лучше конечно целую часть отделить а потом на элементарные дроби разложить

[zRapid]

попытаюсь объяснить на примере...
\( \int\frac{3x^2+2x-3}{x(x-1)(x+1)} \)
смотрим: степень многочлена, который стоит в числителе, меньше степени многочлена знаменателя, то есть можно просто разложить на простейшие дроби,
разделяем на три дроби, и в знаменателях получаем многочлены первой степени, отсюда в числителях будут стоять многочлены нулевой степени  - числа
\( \int\frac{3x^2+2x-3}{x(x-1)(x+1)}=\int{\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1}} \)
теперь правую часть равенства мы должны записать под общий знаменатель
\( \frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1}=\frac{A(x-1)(x+1)+Bx(x+1)+Cx(x-1)}{x(x-1)(x+1)}=\frac{3x^2+2x-3}{x(x-1)(x+1)} \)
\( A(x^2-1)+B(x^2+x))+C(x^2-x)=3x^2+2x-3 \)
и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях:
\(  x^2: A+B+C=3 \)
\(  x^1: B-C=2 \)
\(  x^0: -A=-3 \)
\( A=3, B=1,C=-1 \)
\( \int\frac{3x^2+2x-3}{x(x-1)(x+1)}=\int\frac{3}{x}+\int\frac{1}{x-1}-\int\frac{1}{x+1}=3\ln{x}+\ln{x-1}-\ln{x+1}=\ln{\frac{x^3(x-1)}{x+1}} \)

ну типа алгоритм общий такой)

если например будет такой пример
\( \frac{3x^2+2x-3}{(x^2+1)(x+1)} \)
то
\( \frac{3x^2+2x-3}{(x^2+1)(x+1)}=\frac{Ax+B}{(x^2+1)}+\frac{C}{x+1} \)
\( \frac{3x^2+2x-3}{(x^3+1)(x+1)}=\frac{Ax^2+Bx+C}{(x^3+1)}+\frac{D}{x+1} \)
в общем в числителе обычно будем ставить многочлен степенью меньше на 1 от многочлена знаменателя, а в остальных случаях, например когда степень числителя больше знаменателя, подбираем эти многочлены, чтоб когда мы будем записывать под один знаменатель получили изначальный числитель. а вообще лучше конечно целую часть отделить а потом на элементарные дроби разложить

и все таки не понял в моем примере откуда взялось С/x-1 (второе слагаемое при разложении)

[lu]

ну там (х-1) в квадрате
а мы его разлагаем как
с/(x-1) + (dx+e)/(x-1)²

если в кубе будет то три слагаемых будет и так далее

[Asix]

P.S. Вот полезный теоретический материал для решения интегралов:
Таблица интегралов
Свойства интегралов
Формулы интегрирования
Для решения интегралов этот материал надо знать обязательно!

[zRapid]

Помогите теперь найти вот это....есть у кого нить какие-нить соображения??? заранее благодарен