Найти фундаментальную систему решений системы уравнений

[Selena]

Пожалуйста, подскажите мне как дальше -то решить. И вообще в начале я решаю правильно или нет?

Дана следующая система уравнений:
x1+x2+x3+x4=0,
x1+2x2+3x3+x4+5x5=0

Я перенесла Х1 и Х4 в левую сторону в обоих уравнениях, в итоге получила:
х1+х4=-х2-х3
х1+х4=-2х2-3х3-5х5

Приравняла правые части:
-х2-х3=-2х2-3х3-5х5
Выразила отсюда х2:
х2=-2х3-5х5

Дальше не знаю как быть? прошу подскажите.

[Selena]

вроде что-то решила, посмотрите:
выразив х2, подставила его в первое уравнение получила х1=х3-х4+5х5.

Итого:
х1=х3-х4+5х5
х2=-2х3-5х5
Далее, я так понимаю, надо принять х3=С, х4=D и х5= E
В итоге получаем:
(С-D+5E;-2C-5E; С;D;E ). Подставляла для проверки несколько разных вариантов для х3,х4 и х5, в итоге равенства первоначальные выполнялись. Пожалуйста, перепроверьте меня, правильно я решила?


И еще нашла в интернете ,что вот таким образом тоже находят выражения для х1 и х2:
х1+х2=-х3-х4
х1+2х2=-3х3-х4-5х5

находят определитель при базисных переменных или как их там:
1 1
1 2 = 2-1 =1

дальше определить первой неизвестной:
-х3-х4           1       
-3х3-х4-5х5    2      = -2х3-2х4+3х3+х4+5х5 = х3-х4+5х5 (получили то же выражение ,что и я первым способом через подстановку)


определитель второй неизвестной:
1     -х3-х4
1     -3хх3-х4-5х5   =  -3х3-х4-5х5+х3+х4 = -2х3-5х5 (опять же получили выражение как и в первом способе)

ну а дальше я так понимаю принцип тот же, подставить вместо свободных переменных С,D и  E

Скажите так каким способом правильнее решать ??

[tig81]

Пример

[Selena]

Посмотрела пример. Но ,честно говоря, было бы немного понятнее ,если б Вы еще прокомментировали.
Я так поняла, что то, как я выразила  по первому своему способу базисные переменные через свободные эт в принципе верно  ? да?
А затем надо принять х3=с3, х4=с4,х5=с5
взяв
1 0 0
0 1 0
0 0 1
получаем решения:
(1;-2;1;0;0)
(-1;0;0;1;0)
(5;-5;0;0;1)

Так чтоли? Но я то думала ,что решений будет множество, например, взяв от балды,что к примеру х3=4 х4=3 х3=3   и вставив их в первоначлаьные равенства они были верны.  Объясните мне, пожалуйста?

[tig81]

Посмотрела пример. Но ,честно говоря, было бы немного понятнее ,если б Вы еще прокомментировали.

Ну вначале матрица системы приводится к ступенчатому виду, а потом уже, после определения ранга, делаются преобразования. Вы уверены, что ранг матрицы системы равен 2?

Я так поняла, что то, как я выразила  по первому своему способу базисные переменные через свободные эт в принципе верно  ? да?

Как вы выбирали базисные и свободные? Сколько у вас тех и других, а то несильно поняла это из ваших постов.

А затем надо принять х3=с3, х4=с4,х5=с5

Ну можно и конкретные значения.

взяв
1 0 0
0 1 0
0 0 1
получаем решения:
(1;-2;1;0;0)
(-1;0;0;1;0)
(5;-5;0;0;1)

Это уже похоже на ФСР.

Так чтоли? Но я то думала ,что решений будет множество, например, взяв от балды,что к примеру х3=4 х4=3 х3=3   и вставив их в первоначлаьные равенства они были верны.

Решений итак бесконечно много, но все их можно записать в виде линейной комбинации решений ФСР.

[Selena]

Так что-то каша в голове, вроде и что-то понятно и что-то непонятно.Сейчас еще раз просмотрю Ваш пример.

[tig81]

Если что-то будет непонятно, спрашивайте. Будем еще раз смотреть.

[Selena]

Так решаю по примеру:
1) Записываю матрицу системы:
   1 1 1 1 0
   1 2 3 1 5

С помощью элементарных преобразований необходимо преобразовать матрицу к треугольному виду, т.е. к такому виду, когда все элементы, находящиеся ниже главной диагонали равны нулю. (если квадратная матрица ,то я как бы понимаю как будет выглядеть треугольная матрица), но у меня всего два уравнения с 5 неизвестными, главная диагональ у меня в таком случае я так понимаю с цифрами 1 2  ,если нет, то поправьте меня, то есть надо к примеру, умножить первое уравнение на (-1) и сложить со вторым, получим:
1 1 1 1 0
0 1 2 0 5

Ранг матрицы = числу строк, в которых остались ненулевые элементы r= 2 

Размерность пространства решений равна d=n-r=5-2=3. 5>2,  система имеет бесчисленное множество решений. То есть в моем случае будет бесчисленное множетсво решений, я так пониммаю.

2) Выбираем 2 базисных и   5-2 =3 свободных переменных. Свободные переменные обозначаем ....дальше идут в примере формулы: х_n-r+1=C1 х_n-r+2=c2 ...х_n =c3
Вот на втором шаге согласно формулам получается что-то не то: х4=с1 х5=с2 и опять х5=с3

 :-[что-т не то?

[tig81]

Так решаю по примеру:
1) Записываю матрицу системы:
   1 1 1 1 0
   1 2 3 1 5

С помощью элементарных преобразований необходимо преобразовать матрицу к треугольному виду, т.е. к такому виду, когда все элементы, находящиеся ниже главной диагонали равны нулю. (если квадратная матрица ,то я как бы понимаю как будет выглядеть треугольная матрица), но у меня всего два уравнения с 5 неизвестными, главная диагональ у меня в таком случае я так понимаю с цифрами 1 2   ,если нет, то поправьте меня, то есть надо к примеру, умножить первое уравнение на (-1) и сложить со вторым, получим:
1 1 1 1 0
0 1 2 0 5

Ранг матрицы = числу строк, в которых остались ненулевые элементы r= 2  

Размерность пространства решений равна d=n-r=5-2=3. 5>2,  система имеет бесчисленное множество решений. То есть в моем случае будет бесчисленное множетсво решений, я так пониммаю.

Все верно.

2) Выбираем 2 базисных и   5-2 =3 свободных переменных. Свободные переменные обозначаем ....

Какие две переменный выбираете в качестве базисных? Три оставшиеся - свободные.

[Selena]

ааа, я тут сама  выбираю, ну тогда
2) в качестве базисных х1 и х2 , соответсвенно выражаю их через свободные х3 ,х4,х5, при чем х3=с1,х4=с2,х5=с3
тогда
х1= -х2-х3-х4
х2= -2х3-5х5
х3=с1
х4=с2
х5=с3

Затем я так полагаю мы второе уравнение подставляем в первое и получаем следующую систему :
х1=х3-х4+5х5
х2= -2х3-5х5
х3=с1
х4=с2
х5=с3

Затем записываем все через эти с:
х1=с1-с2+5с3
х2=-2с1-5с3
х3=с1
х4=с2
х5=с3

3)Записываем базис пространства решений системы полагая последовательно одну из свободных переменных равной единице, а остальные нулю.
1 0 0
0 1 0
0 0 1
итог: (1;-2;1;0;0) , (-1;0;0;1;0), (5;-5;0;0;1)

так?

[tig81]

ааа, я тут сама  выбираю, ну тогда

Угу.

2) в качестве базисных х1 и х2 , соответсвенно выражаю их через свободные х3 ,х4,х5, х1=х3-х4+5х5
х2= -2х3-5х5
х3=с1
х4=с2
х5=с3

Верно

Затем записываем все через эти с:
х1=с1-с2+5с3
х2=-2с1-5с3
х3=с1
х4=с2
х5=с3

Ну можно и так.

3)Записываем базис пространства решений системы полагая последовательно одну из свободных переменных равной единице, а остальные нулю.

Можно брать и другие значения, которые более удобны в конкретной ситуации, но проще всего, так как вы берете.

итог: (1;-2;1;0;0) , (-1;0;0;1;0), (5;-5;0;0;1)
так?

Так!





[/quote]

[Selena]

Ой, а объясните мне,пожалуйста тогда.Я вот не понимаю,что значит найти фундаментальное решение.
Вот во втором шаге я определила,что решений будет множество.
Затем в итоге в 3 шаге я нахожу три реальных окончательных набора значений.

Но ведь их множество, не только эти подходят, я подбирала и другие наобум. как быть? или найти фундаментальное решение-это и значит найти какой-то реальный набор значений? не пойму самого понятия так сказать.

[tig81]

Ой, а объясните мне,пожалуйста тогда.Я вот не понимаю,что значит найти фундаментальное решение.
Вот во втором шаге я определила,что решений будет множество.
Затем в итоге в 3 шаге я нахожу три реальных окончательных набора значений.

итог: (1;-2;1;0;0) , (-1;0;0;1;0), (5;-5;0;0;1)

Это и есть ФСР!

Но ведь их множество, не только эти подходят, я подбирала и другие наобум. как быть? или найти фундаментальное решение-это и значит найти какой-то реальный набор значений? не пойму самого понятия так сказать.

Да, найти "какой-то реальный набор значений", через ФСР можно выразить любое другое решение системы. Это как базис.

[Selena]

Спасибо,кажется поняла.То есть ,прими я свободные переменные не за единицу, а за другое что-то.Получила б другой набор значений. И таких множество, как -то так.

[tig81]

Совершенно верно.