Линейная алгебра.

[Szael]

1. Привести к каноническому виду:
3-2x=y+2=6-3z
Решение:
Нужно приводить к виду Ax+By+C=0
То есть получаем: 2x-y+3z-5=0


2. Привести к каноническому виду:
X=2t-3
Y=6-5t
Z=t

Решение:
Выражаем из каждого уравнения t, получаем:
t = (3+x)/2
t= (y-6)/5
t= z
(3+x)/2=(y-6)/5=z

3. A=(3,2,1)
B=(4,2,2)
C=(-1,0,7)
M=(1,1,1)

Принадлежит ли точка М треугольнику ABC?

4. P: x+y+z=3
Спроектировать Oy на P

[tig81]

1. Привести к каноническому виду:
3-2x=y+2=6-3z
Решение:
Нужно приводить к виду Ax+By+C=0
То есть получаем: 2x-y+3z-5=0

Вас не смущает, что изначально было два знака равенства? А в результате получили один.
И вы перепутали прямую на плоскости и в пространстве.
Каноническое уравнение прямой в пространстве следующее:\( \frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p} \)

2. Привести к каноническому виду:
X=2t-3
Y=6-5t
Z=t
Решение:
Выражаем из каждого уравнения t, получаем:
t = (3+x)/2
t= (y-6)/5

t= (y-6)/(-5)

(3+x)/2=(y-6)/(-5)=z

Здесь верно, только подправьте знак

53. A=(3,2,1)
B=(4,2,2)
C=(-1,0,7)
M=(1,1,1)
Принадлежит ли точка М треугольнику ABC?

Условие точно переписали? Т.е. проверить, принадлежит ли точка М, плоскости, которой принадлежит треугольник?

4. P: x+y+z=3
Спроектировать Oy на P

Тут что не получается? По-моему речь идет о следе прямой на плоскости. Подобные задачи есть в Клетенник.

[Szael]

Каноническое уравнение прямой в пространстве следующее:\( \frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p} \)

Спасибо, а то что в знаменателе это координаты направляющего вектора q? Как их найти?

Условие точно переписали? Т.е. проверить, принадлежит ли точка М, плоскости, которой принадлежит треугольник?

Там нужно проверить, принадлежит ли она именно треугольнику.

[tig81]

Спасибо, а то что в знаменателе это координаты направляющего вектора q? Как их найти?

Так преобразовать заданное выражение, чтобы привести к каноническому виду. Например,
\( 3-2x=-2x+3=-2(x-\frac{3}{2})=\frac{x-\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}} \)
Остальное аналогично

Там нужно проверить, принадлежит ли она именно треугольнику.

Как плоскости представляю, а чтобы она еще и внутри   треугольника лежала... Надо подумать, что-то с ходу пока ничего в голову не приходит. Возможно через отклонение точки от прямой?

[Szael]

Остальное аналогично

О, все понятно, спасибо.

Как плоскости представляю, а чтобы она еще и внутри   треугольника лежала... Надо подумать, что-то с ходу пока ничего в голову не приходит. Возможно через отклонение точки от прямой?

Скорее всего что через отклонение. Проблема в том, что нам ничего не рассказли про отклонение точки от прямой. Если я не ошибаюсь, там нужно проверить, будут ли равны знаки, если они равны то, точка лежит в треугольнике? Только как расчитывают отклонение?

[tig81]

О, все понятно, спасибо.

Это хорошо.

Скорее всего что через отклонение. Проблема в том, что нам ничего не рассказли про отклонение точки от прямой. Если я не ошибаюсь, там нужно проверить, будут ли равны знаки, если они равны то, точка лежит в треугольнике? Только как расчитывают отклонение?

Погуглите, информации про отклонение много можно прочитать. Вам надо посмотреть задачи, в которых проверяется, что лежат точки по одну сторону от прямой или по разные. Пока более дельного ничего не придумала.

[Szael]

Решила первый номер по аналогии, получилось вот так:
(x-3/2)/-0.5=(y/2+1)/0.5=(z-2)/(-1/3)
Это правильно?

Погуглите, информации про отклонение много можно прочитать. Вам надо посмотреть задачи, в которых проверяется, что лежат точки по одну сторону от прямой или по разные. Пока более дельного ничего не придумала.

Да, спасибо, думаю смогу разобраться

[tig81]

Решила первый номер по аналогии, получилось вот так:
(x-3/2)/-0.5=(y/2+1)/0.5=(z-2)/(-1/3)
Это правильно?

Для у не так, а вот так \( y+2=\frac{y+2}{1} \)

Да, спасибо, думаю смогу разобраться

Это замечательно. Но может есть и другой какой-то способ.

[Szael]

Спасибо еще раз, очень помогли 

[tig81]

Удачи!

[Szael]

Ой, а подскажите еще.
Если в 3 задаче надо проверить принадлежность точки М углу ABC, то можно составить уравнение плоскости, и подставить координаты М для проверки принадлежности в уравнение? Или это неправильно будет?

[tig81]

Ой, а подскажите еще.
Если в 3 задаче надо проверить принадлежность точки М углу ABC,

Т.е. надо показать, что точка лежит между прямыми АВ и ВС

то можно составить уравнение плоскости, и подставить координаты М для проверки принадлежности в уравнение? Или это неправильно будет?

Какой плоскости? И не совсем понятно, что значит, что точка принадлежит углу.

[Szael]

И не совсем понятно, что значит, что точка принадлежит углу.

Может быть это значит, что нужно смотреть отклонение относительно только двух прямых AB и BC?

[tig81]

Может быть это значит, что нужно смотреть отклонение относительно только двух прямых AB и BC?

Про угол не могу пока что-то внятное ответить, а про треугольник что-то нашлось:
Клац
Клац-клац
Клац-клац-клац
Не знаю, оно или нет. Но погуглите, может что-то интересное и попадется.

[testtest]

в 3 задаче надо

составить уравнение плоскости, проходящей через 3 точки:
\( \left|\begin{array}{ccc}
x - x_1 & y - y_1 & z - z_1\\x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1\\x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1
\end{array}\right| = 0 \),
привести к виду Ax + By + Cz + D = 0 и во-первых, проверить это равенство при \( (x, y, z) = (1,1,1) \), а во-вторых "построить" для каждой стороны треугольника плоскость, перпендикулярную данной и проходящую через две точки этой стороны:
\( \left|\begin{array}{ccc}
x - x_1 & y - y_1 & z - z_1\\x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1\\A & B & C
\end{array}\right| \).
Здесь, понятно, \( x_1 \) и \( x_2 \) заменяются для следующей стороны на \( x_2 \) и \( x_3 \), и потом на \( x_3 \) и \( x_1 \). Раскрывать определитель необязательно, достаточно просто проверить, чтобы знак этого определителя был одинаков при \( (x, y, z) = M \) и \( (x, y, z) = x_3, x_1, x_2 \) соответственно для каждого случая, т.е. чтобы каждый угол треугольника, не лежащий в построенной плоскости, лежал бы по одну сторону с точкой M.