система из трех уравнений

[olkononov]

Помогите, пожалуйста, решить систему из трех уравнений:

2*x*y+yz=27
3*y*z-2*x=25
x*z-x*y=4

Умножил первое на 3, вычел второе, выразил из последнего х, подставил в первое и второе, ничего хорошего не получилось. Может, есть какой-то неизвестный мне прием для решения?

[tig81]

Может, есть какой-то неизвестный мне прием для решения?

Прием не увидела, возможно и есть.
1. Из третьего уравнения выражаем \( x \) через \( y \) и \( z \).
2. Подставляем полученное равенство в первое уравнение системы и находим выражение произведения \( yz \) через \( z \) и \( y \).
3. И все подставляем во второе равенство, тем самым выражаем, к примеру, \( y \) через \( z \).
4. Полученные равенства (все они зависят от одной переменной \( z \)) подставляем в любое уравнение системы и находим \( z \), а тем самым и \( x \), и \( y \).

[olkononov]

Спасибо, сейчас попробую еще раз по Вашей методике

[tig81]

Договорились, ждем результат.

П.С. Методика - это громко сказано. 

[olkononov]

из 3 ур.сист.    x=4:(z-y)                                             (1)
подст.(1) в 1 ур.       yz=((27(z-y)-8y):(z-y)               (2)
подст.(1) и (2) во 2 ур.сист.
(3(27(z-y)-8y)):(z-y) - 2*4:(z-y)
упрощаем получаем    7z-10y=1
y=(7z-1):10                                                       (3)
подст.(3) в (1)    x=40:(3z-1)                                (4)
подст.(3) и (4) в 1 ур.сист. и получаю после преобразований
21*z*z*z-10*z*z-249*z+190=0
найти Z не могу, либо где-то ошибка?

[tig81]

21*z*z*z-10*z*z-249*z+190=0

У меня получилось \( 21z^3-10z^2+561z-350=0 \), но решение некрасивое.
Ваше уравнение также не решается "красиво". Но "нормальное" решение у системы есть.

Надо подумать, перепроверить.

[tig81]

x=40:(3z-1)                                (4)

В знаменателе должно быть +1, т.е. \( x=\frac{40}{3z+1} \)   

подст.(3) и (4) в 1 ур.сист. и получаю после преобразований
21*z*z*z-10*z*z-249*z+190=0

Должно получится уравнение \( 21z^3+4z^2-215z-350=0 \).
Если уравнение имеет корни, то они являются делителями свободного коэффициента, т.е. надо корни искать среди чисел, на которые делится \( -350: \pm{1}, \pm{2} \) и т.д. Так подбирается один из корней \( x_1 \). Затем исходный многочлен делится в столбик на \( x-x_1 \)

П.С. А вы в каком классе? На каком курсе?

[olkononov]

Точно! Перепутал знак, все невнимательность моя, пытаюсь делать несколько дел одновременно. Спасибо Вам большое.
 А задания эти - для моей дочери 10 кл. Я-то технический ВУЗ закончил уже давно, математику очень люблю и если не могу что-то решить за курс средней школы, сильно переживаю и не успокоюсь, пока не сделаю.
Еше раз благодарю, теперь осталось втолкнуть знания в голову подрастающего поколения.

[tig81]

Ясно. Дорешали?
Ответ такой: \( x=-8,\,y=-\frac{3}{2},\,z=-2 \)

[olkononov]

z=-2 получил, но ведь у кубического уравнения есть еще корни? Их надо тоже искать и тогда система будет иметь несколько решений? но дальше пока не доделал.

[tig81]

z=-2 получил, но ведь у кубического уравнения есть еще корни? Их надо тоже искать и тогда система будет иметь несколько решений?

Если уравнение имеет корни, то они являются делителями свободного коэффициента, т.е. надо корни искать среди чисел, на которые делится \( -350: \pm{1}, \pm{2} \) и т.д. Так подбирается один из корней \( x_1 \). Затем исходный многочлен делится в столбик на \( x-x_1 \)