плз, помогите с теорией вероятности

[Лестат]

Люди, плз, помогите с задачами, не могу начать ,в некоторых есть мысли , но как-то не получается дальше

1. Из 30 деталей, среди которых 10 высшего качества, случайным образом выбирают сборку из 20. Какая вероятность того, что среди них окажется 7 деталей высшего качества ?

А - среди 20-и окажется 7 высшего качества. n-кол-во способов выбрать 7 деталей высшего качества из 30,m-кол-во способов выбрать 7 деталей высшего качества из 20.
Тогда n=С₃₀⁷ , а m=С₂₀⁷. P(A)=m/n
 Так? или я вообще не то пишу ? 

2. Вероятность того , что прибор на протяжении гарантийного термина не будет требовать ремонта: для первого прибора - 0.75, для второго - 0.6, для третьего - 0.8. Найти вероятность того, что на протяжении гарантийного термина только один из приборов не будет требовать ремонта.

A-прибор не будет требовать ремонта, p1=0.75, p2=0.6, p3=0.8. а дальше что-то не знаю как, или я вообще неверно думал ? может это по теореме умножения ?

3. Образец радиоактивного вещества в среднем за 10 секунд излучает 4 заряженных частицы. Определить вероятность того, что за 1 секунду образец излучит : а) хотя бы одну частицу, б)ровно одну частицу.

А- образец излучит 1 частицу.  даже не знаю с чего начать......

4. Некоторые изделия проверяют на стандартность двумя контролерами, причем первый проверяет 60 %, а второй - 40 % всей продукции. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным при проверке первым контролером, равна 0.95, вторым контролером - 0.9. ( качество контроля зависит от квалификации контролера). Определить вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным.

а это вообще страшная задача =(
пожалуйста помогите, подскажите.

[Лестат]

люди, может кто-нибудь что-то подсказать ? а то что-то мучаюсь и ничего не получается

[Semisvetikks]

спокойствие, только спокойствие.
номер 1:
пример, решаете аналогично

номер 2:

p1=0.75, p2=0.6, p3=0.8

ну, а противоположные будут q1=0.25, q2=0.4, q3=0.2
P(A)=p1*q2*q3+q1*p2*q3+q1*q2*p3
вроде так.

номер 3:
оу, давно это было, точно не упомню.. кажись по какой-то муавра-лапласа, или по формуле пуассона, ну там еще наивероятнейшее число..
ну вы поищите)

"страшная задача":
пусть соб.А означает что станд.изделие признано стандартным. Гипотезы В₁ и В₂ означают проверку первым и вторым контролером соответственно.
получаем:
Р(В₁)=0,6
Р(В₂)=0,4
Р_В1(А)=0,95
Р_В2(А)=0,9
и все это безобразие подставляете в формулу полной вероятности.

[Лестат]

по первой не очень понял

по второй : а какая это формула ? что-то я такое не нашел

по третей : что-то не очень

по четвертой : эт получается P(A)=P(B₁)*P_B1(A)+P(B₂)*P_B2(A)
P(A)=0.6*0.95+0.4*0.9=0.93 .     Правильно ?

[Pirl]

1. Задача на отыскание вероятности удачной выборки (по условию задачи) из сформировавшейся конечной совокупности, в результате ее выбора из первичной выборки с начальными условиями.
Отыщем общее число вариантов выбора 20-ти деталей из 30-ти:
С₃₀²⁰=30045015
Теперь найдем число случаев, благоприятных условию нашей задачи (7 деталей высшего качества среди выбранных 20-ти):
а) Ищем число способов, какими из 10 деталей высшего качества можно выбрать 7:
С₁₀⁷=120
б) Теперь важно! Мы извлекаем из первичной выборки не 7 деталей, а 20. Поэтому каждую из 120-ти возможных комбинаций деталей высшего качества надо сочетать с каждой комбинацией из 13 деталей не высшего качества.
Рассчитаем их количество: С₂₀¹³=77520
Т.е. всего деталей не высшего качества 20 (30-10), а деталей не высшего качества, в соответствии с благоприятными условию задачи случаями, 13 (20-7). Таким образом, каждая комбинация из 7-ми деталей высшего качества сочетается с каждой комбинацией из 13-ти деталей не высшего качества в «20-детальной» выборке.
Именно эти случаи и являются благоприятными событию «7 деталей высшего качества среди 20 выбранных деталей». А их количество получается путем перемножения количества возможных комбинаций в обоих случаях:

С₁₀⁷*С₂₀¹³=9302400

9302400 - число благоприятных вариантов, 30045015 - общее число вариантов.

P=С₁₀⁷*С₂₀¹³/С₃₀²⁰=9302400/30045015=0,30961

Предложение Semisvetikks не совсем подходит для решения этой задачи. Формула Бернули приемлема для решения задач, в которых требуется установление вероятности количества благоприятных исходов с применением схемы повторных независимых испытаний, в каждом из которых событие появляется с одной и той же вероятностью. В нашей же задаче катрина несколько иная. С каждой извлеченной из выборки деталью, вероятность "вытащить" деталь высшего качества или наоборот не высшего качества при следующем извлечении изменяется.

Что же касается нашей задачи, то ее условие с одной стороны составлено некорректно, с другой - очень даже тонко и хитро. Ведь "...среди них окажется 7 деталей высшего качества..." можно расценивать как ровно 7 деталей, а можно и как любое количество деталей высшего качества, при котором выполняется условие "...среди них окажется 7 деталей высшего качества...". Т.е это может быть и 8, и 9, и 10 деталей высшего качества среди 20-ти выбранных из 30-ти и все равно это будет соответствовать тому, что "...среди них окажется 7 деталей высшего качества...". Обратите внимание, в условии задачи не написано, что надо установить вероятность события, при котором в выборке окажется ровно 7 деталей высшего качества или не менее, или не более 7 деталей высшего качества. Просто "...окажется...". На этот случай вероятность такого события будет рассчитываться с применением теоремы сложения вероятностей для несовместных событий. А именно, аналогично устанавливаются вероятности того, что в выборке окажется ровно 8, 9 и 10 деталей высшего качества и все эти вероятности складываются.
Т.е. мы нашли P(7). Надо еще найти P( 8 ), P(9), P(10).
P{Среди них окажется 7 деталей высшего качества}=P(7)+P( 8 )+P(9)+P(10).
Уточните условие задачи у преподавателя!

2. Для решения второй задачи рассмотрим 3 несовместных случая:
А: первый прибор не потребовал ремонта, второй и третий приборы потребовали;
B: первый прибор потребовал ремонта, второй прибор не потребовал ремонта, третий прибор потребовал ремонта;
С: первый и второй приборы потребовали ремонта, третий прибор не потребовал ремонта.

Используем правило умножения для независимых событий:
P(A)=p1*(1-p2)*(1-p3);
P(B)=(1-p1)*p2*(1-p3);
P(C)=(1-p1)*(1-p2)*p3

P{только один из приборов не будет требовать ремонта}=P(A)+P(B)+P(C)=p1*(1-p2)*(1-p3)+(1-p1)*p2*(1-p3)+(1-p1)*(1-p2)*p3=0.75*0.4*0.2+0.25*0.6*0.2+0.25*0.4*0.8=0,17

Удачи!!!

[Pirl]

В условии третьей задачи сказано, что 4 частицы за 10 секунд есть значение среднее. А значит таких 10-ти секундных интервалов "много". А более точно, образец радиоактивного вещества на любом 10-ти секундном участке времени в среднем излучает 4 частицы, события возникают по отдельности (одиночно), количество частиц в любом выбранном интервале не зависит от количества частиц в любом другом выбранном интервале. Очевидно, речь идет о простейшем потоке событий с интенсивностью  λ=0.4 част/сек.
В данном случае применима формула Пуассона:

P(n)=((λt)^n*e^(-λt))/n!

Для вычисления вероятности появления за одну секудну хотя бы одной частицы, рассчитаем вероятность того, что за одну секунду не появится ни одной частицы:

P(0)=((0.4*1)^0*e^(-0.4*1))/0!=0,6721;

P{излучение образцом хотя бы одной частицы}=P(n>0)=1-P(0)=1-0,6721=0,3279

Рассчитаем вероятность появления ровно одной частицы:

P(1)=((0.4*1)^1*e^(-0.4*1))/1!=0.2689


Ну и наконец четвертая "страшная задача". Никакая она не страшная. Некоторое стандартное изделие попадает к первому контролеру с вероятностью 0.6, а ко второму - с вероятностью 0.4. Каждый из которых признает стандартное изделие стандартным с вероятностями 0.95 и 0.9, соответственно.
Событие А={стандартное издение будет признано стандартным};

Гипотезы:
Н1={стандартное изделие попало к первому контролеру};
Н2={стандартное изделие попало ко второму контролеру}.

P(H1)=0.6, P(H2)=0.4.

P(A/H1)=0.95, P(A/H2)=0.9.

P(A)=P(H1)*P(A/H1)+P(H2)*P(A/H2)=0.6*0.95+0.4*0.9=0,93



Удачи!!!

[Лестат]

Гляньте плз эту задачу
В схеме повторных испытаний точное значение вероятности можно получить по формуле Бернулли. При заданых n=13, m=2 для указаных значений p₁=0.239,p₂=0.275,p₃=0.292,p₄=0.317,p₅=0.341 вычилить P₁₃(2) по 3-м формклам : Бернулли,Лапласа,Пуассона. Для каждого значения p_i найти относительную погрешность формул Лапласа и Пуассона. Построить на одном рисунке графики относительных погрешностей этих формул как функций p. Показать области преимущественного использования формул Лапласа и Пуассона.

[Лестат]

ну ф-лы Бернулли,Лапласа,Пуассона я знаю, а это получается найти 5 раз ? ( для р1,р2,р3,р4,р5 ), а остальное как-то не очень

[Pirl]

Точное значение вероятности количества "удачных" исходов из серии опытов дает формула Бернулли. Это, кстати, и в условии упомянуто. Вместе с тем, в отдельных случаях применимы формулы и Лапласа и Пуассона. Но результаты иногда близки к истине, а иногда не очень (в зависимости от условий применения).
Вам надо вычислить P₁₃(2) для каждого p_i. У вас получится 5 вероятностей P₁₃(2), вычисленных по формуле Бернулли,  5 вероятностей P₁₃(2), вычисленных по формуле Лапласа и столько же по формуле Пуассона.
Известно, что за эталон следует взять результаты, полученные по формуле Бернулли. А далее вычислить погрешность формул Лапласа и Пуассона. Т.е., определить, на сколько результаты полученные по Лапласу и Пуассону разнятся с истинными значениями вероятностей.
Надеюсь, рассказывать, как строить графики и по какому принципу определять области преимущественного использования, не стоит!
Удачи!!!

[Лестат]

я понял все кроме того, как определять области преимущественного использования !
нам такого не говорили

[Лестат]

ну все посчитал, а как найти эти области не знаю =(((

[Pirl]

нам такого не говорили

А зачем? Смысл областей преимущественного использования вытекает из самого значения словосочетания "преимущественное использование".
Кроме того, области надо не столько определять (по какому то правилу или алгоритму), а сколько показать (выделить, отметить). Определяются они визуально на графике. Т.е., областям графика, где разница между Лапласом, Пуассоном и Бернулли минимальна и отдается преимущество для использования этих формул. Т.к. результаты наиболее схожи с точными (по Бернулли). Теперь понятно?

[Pirl]

Судя по всему, ничего не понятно.

Если Вы все посчитали, то у Вас должны быть следующие результаты: 5 вероятностей P₁₃(2), полученных по формуле Бернулли, 5 вероятностей P₁₃(2), полученных по формуле Пуассона и 5 вероятностей P₁₃(2), полученных по формуле Лапласа.

Бернулли                               Пуассон                                Лаплас

P_1Б13(2)=0.221                     P_1П13(2)=0.220                    P_1Л13(2)=0.200
P_2Б13(2)=0.172                     P_2П13(2)=0.183                    P_2Л13(2)=0.154
P_3Б13(2)=0.149                     P_3П13(2)=0.166                    P_3Л13(2)=0.134
P_4Б13(2)=0.118                     P_4П13(2)=0.142                    P_4Л13(2)=0.108
P_5Б13(2)=0.092                     P_5П13(2)=0.120                    P_5Л13(2)=0.085

Известно, что точное значение вероятности количества удачных исходов в серии опытов с одинаковой вероятностью в каждом опыте позволяет получить формула Бернулли. Однако, в некоторых случаях, пусть и менее точно, но также позволяют получить такую вероятность формулы и Пуассона и Лапласа. Но, в зависимости от условий применения. В каких-то случаях эти формулы не стоит использовать, а в каких-то – нужно. Формула Пуассона дает более точные результаты при малых значениях p, т.е. когда событие в одном опыте маловероятно. Формула Лапласа «более точна» при больших значениях n, т.е. когда производится много опытов. Но тем не менее, точные значения вероятностей дает формула Бернулли. Все дело лишь в целесообразности ее использования в тех или иных случаях. Вообще, это отдельная тема, поэтому вернемся к задаче, которая и направлена на то, чтобы показать Вам разницу в использовании этих формул относительно формулы Бернулли.

Требуется для каждого значения pi вычислить относительную погрешность. Относительной погрешностью является отношение абсолютной погрешности к истинному значению. Выражается в процентах.
Абсолютная погрешность: X_ист.-X_иссл.
Относительная погрешность: δ=(|X_ист.-X_иссл.|/X_ист.)*100%

В нашем случае погрешности вероятностей для формулы Пуассона:

δ_iП= (|P_iБ13(2)-P_iП13(2)|/P_iБ13(2))*100%;

И для Лапласа:

δ_iЛ=(|P_iБ13(2)-P_iЛ13(2)|/P_iБ13(2))*100%;


Таким образом, погрешности:

Пуассон                                             Лаплас

δ_1П=0.452%                                      δ_1Л=9.502%
δ_2П=6.395%                                      δ_2Л=10.465%
δ_3П=11.409%                                    δ_3Л=10.067%
δ_4П=20.339%                                    δ_4Л=8.475%
δ_5П=30.435%                                    δ_5Л=7.609%

По полученным результатам строим график(см. вложения).

Формула Пуассона, как и следует из теории, дает меньшую погрешность при меньших значениях р. Формула Лапласа более "стабильна" и значения р на нее не сильно влияют. Это и не удивительно, ведь ее точность зависит не от р, а от n. С ростом n точность возрастает. В нашем случае n постоянна, поэтому и погрешность по Лапласу примерно одинаковая. Что и требовалось показать. Надеюсь теперь Вам все понятно!
Что же касается областей преимущественного использования, то очевидно, что чем меньше погрешность, тем менее разнятся результаты "по Пуассону" и "по Лапласу" с результатами "по Бернулли".
Удачи!!!