помогите доказать неравенство

[dageru]

Надо доказать, что n^(n+1)>(n+1)^n при n>=3

Доказывать скорей всего надо методом мат индукции, для n=3 всё верно, но мозг зависает на (k+1)^(k+1)+(k+1)>(k+2)^(k+1) и нивкакую не хочет двигаться дальше.

Прошу помощи, подсказок, и т. д. и т. п.

[testtest]

а по-моему, это очевидно
\( n > \left(\frac{n+1}{n}\right)^n = e \), \( (n \to \infty) \)
\( e \) как обычно примерно равно 2,718281828459045

[dageru]

Ого, как это ты так ловко вывел?

[testtest]

понравилось?

[dageru]

Очень, аж захотелось повторить. Распиши поподробней вывод, пожалуйста. В доказательствах прыжок сразу к последнему пункту не очень помогает...

[tig81]

Доказывать скорей всего надо методом мат индукции,

Именно.

  но мозг зависает на (k+1)^(k+1)+(k+1)>(k+2)^(k+1)

А откуда это получилось? Сумма, которая стоит слева. Индуктивное предположение записали?

[dageru]

но мозг зависает на (k+1)^(k+1)+(k+1)>(k+2)^(k+1)

А откуда это получилось? Сумма, которая стоит слева. Индуктивное предположение записали?

А, точно, там умножение, а не сложение.
Тогда получаем
\( (k+1)^{k+1}>\frac{(k+2)^{k+1}}{k+1} \)
и зависаем уже здесь, так как в скобку мы так ловко запихнуть знаминатель не умеем, а самостоятельное рассуждение приводит только к бреду вроде
\( \frac{(n+1)^n}{n}>\frac{(n+1)^n}{n+1}=(n+1)^{n-1}<(n+1)^n \)
что само по себе правильно, но ничего не доказывает
...

[tig81]

\( (k+1)^{k+1}>\frac{(k+2)^{k+1}}{k+1} \)

Так лучше. Но оставьте слева \( (k+1)^{k+2} \)
Не понятно потом откуда у вас n дальше взялось.
Так, а как выглядит индуктивное предположение? Его далее будем использовать.

[dageru]

Не понятно потом откуда у вас n дальше взялось.

ну, вместо n должно было быть k+1, но было лень расписывать, да и запутаться легче...

Так, а как выглядит индуктивное предположение? Его далее будем использовать.

\( (k+1)^{k+2}>(k+2)^{k+1} \)
ты про это? (ничо шо я на ты?)

\( (k+1)^{k+1}>\frac{(k+2)^{k+1}}{k+1} \)

Так лучше. Но оставьте слева \( (k+1)^{k+2} \)

ок, возращаемся на старт...

[tig81]

ну, вместо n должно было быть k+1, но было лень расписывать, да и запутаться легче...

Но лучше k+1.

\( (k+1)^{k+2}>(k+2)^{k+1} \)

Угу. Только это не идуктивное предположение. Второй шаг в матиндукции, когда считаем, что неравенство выполняется при \( n=k \). Т.е. при \( n=k \) неравенство принимает вид...

ты про это? (ничо шо я на ты?)

Та шо, мы близко не знакомы.

[dageru]

ну, вместо n должно было быть k+1, но было лень расписывать, да и запутаться легче...

Но лучше k+1.

ок

\( (k+1)^{k+2}>(k+2)^{k+1} \)

Угу. Только это не идуктивное предположение. Второй шаг в матиндукции, когда считаем, что неравенство выполняется при \( n=k \). Т.е. при \( n=k \) неравенство принимает вид...

то есть ещё шаг назад? хорошо, на экзамене всё пригодится
\( k^{k+1}>(k+1)^k \)

ты про это? (ничо шо я на ты?)

Та шо, мы близко не знакомы.

яка жалість... хорошо, как скажете

[tig81]

то есть ещё шаг назад? хорошо, на экзамене всё пригодится
\( k^{k+1}>(k+1)^k \)

Так. Верно.
Т.е. все объединяем:
1. Проверяем выполнение неравенства при n=3: 81>64
2. Делаем индуктивное предположение, что данное неравенство справедливо при n=k, т.е.
\( k^{k+1}>(k+1)^k \)
3. Проверяем выполнение неравенства при n=k+1, т.е. надо показать, что \( (k+1)^{k+2}>(k+2)^{k+1} \):
\( (k+1)^{k+2}>(k+2)^{k+1} \)
\( k^{k+1}\cdot (k+1)^{k+2}>k^{k+1}\cdot(k+2)^{k+1} \)
По индуктивному предположению:
\( k^{k+1}\cdot (k+1)^{k+2}>(k+1)^{k}\cdot (k+1)^{k+2} \)
Т.е. тогда получаем, что
 \( [(k+1)^2]^{k+1}>[k\cdot(k+2)]^{k+1} \)
Подумайте/покажите, что последнее неравенство верно.

яка жалість... хорошо, как скажете

Та ладно, не жалкуйте так, все буде дуже гарно.

[testtest]

Очень, аж захотелось повторить. Распиши поподробней вывод, пожалуйста. В доказательствах прыжок сразу к последнему пункту не очень помогает...

\( n^{n+1} > (n+1)^n \)

\( n \cdot n^n > (n+1)^n \)

\( n > \left(\frac{n+1}{n}\right)^n \)

\( \left(\frac{n+1}{n}\right)^n = \left(1 + \frac1n\right)^n \)

для \( n = 3 \), \( 3 > 2.(370) \)

вспоминаем определение второго замечательного предела и определение предельной точки множества

[dageru]

Спасибо, теперь дошло.