Помогите пожалуйста интегральчик решить

[sir. Andrey]

Доброго времени суток дамы и господа!
Я искренне надеюсь на вашу помощь!

\( \int \sqrt{1+x^2}dx \)

Делаем замену переменных:

\( x=tgu \)
\( dx= \frac{1}{cos^2u}du
 \)

\( \int \frac{ \sqrt{1+tg^2u}}{cos^2u}du= \int \frac{1}{cos^3u} \)

Далее снова делаем замену переменных:

\( t=sinu \)
\( dt=cosudu       \Rightarrow  du= \frac{dt}{cosu} \)

\( \int \frac{1}{cos^4u}dt= \int \frac{1}{(1-t^2)(1-t^2)}dt= \int \frac{dt}{(1-t)^2(1+t)^2} \)
 
Далее надо раскладывать на элементарные:

\( \frac{1}{(1-t)^2(1+t)^2}=\frac{A}{1-t}+ \frac{B}{(1-t)^2}+ \frac{C}{1+t}+ \frac{D}{(1+t)^2}  \)

Отсюда мы можем найти только \( B \) и \( D \)
Подскажите пожалуйста, что я делаю не так?          

[Dlacier]

Далее надо раскладывать на элементарные:

\( \frac{1}{(1-t)^2(1+t)^2}=\frac{A}{1-t}+ \frac{B}{(1-t)^2}+ \frac{C}{1+t}+ \frac{D}{(1+t)^2}  \)

Отсюда мы можем найти только \( B \) и \( D \)

Почему? Можно найти все неизвестные.)
Приводите все к общему знаменателю, затем приравнивайте коэффициенты при степенях \( t \) справа и слева.

[Dlacier]

Этот интеграл также можно решить сделав замену \( 1+x^2=t^2 \) и проще получается.)

P.S. Вот полезный теоретический материал для решения интегралов:
Таблица интегралов
Свойства интегралов
Формулы интегрирования

[sir. Andrey]

Сейчас я вам продемонстрирую, что при разложении ничего не получится  
И так, всё внимание в монитор  
Приводим к общему знаменателю:
\( \frac{A(1-t)(1+t)^2+B(1+t)^2+C(1+t)(1-t)^2+D(1-t)^2}{(1-t)^2(1+t)^2} \)

при \( t=1 \)
\( B= \frac{1}{4} \)
при \( t=-1 \)
\( D= \frac{1}{4} \)
A и C мы найти ни как не сможем, т.к.в какой бы степени ни находилось A, точно в такой же обязательно будет C, ни то ни другое нам не известно!!!

Этот интеграл также можно решить сделав замену \( 1+x^2=t^2 \) и проще получается.)

Может быть, я не правильно решаю, но все таки у меня получается полная чушь  
\( \int sqrt{1+x^2}dx \)
Замена переменных:

\( 1+x^2=t^2 \)

\( x^2=t^2-1 \)

\( 2xdx=2t \)

\( dx= \frac{t}{x} \)

\( \int \frac{t^2}{x}dt \) //ну и как решать такой интеграл?          

Я искренне, всей душой надеялся на вашу помощь  я расстроен     

[sir. Andrey]

Приношу глубочайшие извинения
Второй метод помог, эт я затупил  

Этот интеграл также можно решить сделав замену \( 1+x^2=t^2 \) и проще получается.)

Огромное спасибо!  
З.Ы. повысьте пжлст мне репутацию

[Dlacier]

Приводим к общему знаменателю:
\( \frac{A(1-t)(1+t)^2+B(1+t)^2+C(1+t)(1-t)^2+D(1-t)^2}{(1-t)^2(1+t)^2} \)

а дальше неверно. нужно приравнивать коэффициенты при \( t \) справа и слева.
для начала раскрывайте скобки в числители и записываете в виде \( t^3(-A+C)+t^2(...)+t^1(...)+t^0(...) \). Это получаете то, что справа.
А слева в числителе у вас \( 0\cdot t^3+0\cdot t^2+0\cdot t^1+1\cdot t^0 \).
И приравняв коэффициенты при \( t \), получите систему из 4-х уравнений и 4-х неизвестных.

[Dlacier]

Приношу глубочайшие извинения
Второй метод помог, эт я затупил  

Этот интеграл также можно решить сделав замену \( 1+x^2=t^2 \) и проще получается.)

Огромное спасибо!  
З.Ы. повысьте пжлст мне репутацию

замечательно.)

[sir. Andrey]

Скажите пожалуйста, а что понимается под вашим ником? 

[sir. Andrey]

Приводим к общему знаменателю:
\( \frac{A(1-t)(1+t)^2+B(1+t)^2+C(1+t)(1-t)^2+D(1-t)^2}{(1-t)^2(1+t)^2} \)

Проверьте пожалуйста, я правильно нашел A B C D?
\( B=\frac{1}{4} \)
\( D=\frac{1}{4} \)
\( A=0 \)
\( C=0,5 \)

[Dlacier]

Скажите пожалуйста, а что понимается под вашим ником? 

Без понятия.)

Проверьте пожалуйста, я правильно нашел A B C D?
\( B=\frac{1}{4} \)
\( D=\frac{1}{4} \)
\( A=0 \)
\( C=0,5 \)

Нет, неверно. Опять же проверить легко, подставив в исходное уравнение.