тройной интеграл

[He_3HaI-O]

помогите решить задачу
{ = интеграл
расставьте пределы интегрирования в тройном интеграле
{{{f(x,y,z,)dxdydz по области d
ограниченой поверхностями
z=0, x*x+y*y=4(1-z)
 в декартовых цилиндрических и сферических координатах
 я чет туплю не могу составить область интегрирования
 

[Dlacier]

рисунок делали?)
он должен помочь понять.)

[He_3HaI-O]

не могу понять как сделать..если не сложно , подскажите дальше сам попробую

[He_3HaI-O]

х*x/a+y*y/b+z*z/c=r*r помоему ур-е сферы, похоже на ур-е 2 поверхности но там z

[Dlacier]

это уравнение параболоида)

[He_3HaI-O]

  так что делать с областью интегрирования)помогите от этого судьба моей прически зависит:))))

[Dlacier]

я бы попробывала сделать такую замену:
\( \frac{x}{2}=r\sin\theta\cos\varphi \)

\( \frac{y}{2}=r\sin\theta\sin\varphi \)

\( z-1=r\cos\theta \)

[Dlacier]

хотя может лучше к циллиндрическим перейти..)
\( \frac{x}{2}=r\cos\varphi \)
\( \frac{y}{2}=r\sin\varphi \)
\( -z+1=h \)

у вас что-нибудь получается?

[He_3HaI-O]

неа:(

[He_3HaI-O]

не понимаю что нам даст замена, допустим заменим, полум:
4r*r*sinфи*sinфи+4r*r*cosфи*cosфи =4hфи а что нам даст это?

[He_3HaI-O]

помогите решить...запутался и не могу сма сделать

[Dlacier]

вообще зачем делают замены?)

после замены

1. \( \left(\frac{x}{2}\right)^2+\left(\frac{y}{2}\right)^2\,=\,1-z \) принимает вид \( r^2\cos^2\varphi+r^2\sin^2\varphi=h \) откуда

   \( r^2=h \)

2. \( 1-z=h \)

   то есть из \( z=0 \) следует \( h=1 \)

откуда \( 0\le h\le 1 \), \( 0\le r \le \sqrt{h} \) и \( 0\le \varphi \le 2\pi \)

но это нужно проверить.)
и кстати про якобиан не забудьте!

[Dlacier]

хотя здесь можно было и не делать замену)))
Решение номер 2)

при \( z=0 \) имеем \( x^2+y^2=4 \)
а при \( x=y=0 \) имеем \( z=1 \)
откуда
\( 4\int_{1}^{0} dz\int_{0}^{2}dy\int_{0}^{\sqrt{4-y^2}}f(x,y,z)dx \)

[He_3HaI-O]

спасибо:)
пс: знаете некоего А.В.Вестяка?)

[Dlacier]

неа, должна?)
погуглила, есть такой человек)