Помогите, пожалуйста: задача на треугольники

[lotos56]

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты АР и СК. Площадь треугольника ABC равна 18, площадь треугольника BPК равна 2, длина отрезка РК равна 2√2. Вычислить длину радиуса окружности, описанной около треугольника ABC.

[Semen_K]

А ваши мысли или попытки решить тоже хотелось бы увидеть.

[Semen_K]

Могу пока дать направление) Треугольник КРВ подобен треугольнику АВС.

[lotos56]

R = abc/4S
Треугольники КВР и АВС подобны с коэффицентом подобия k.
k^2 = S(ABC)/S(KBP) = 18/2 = 9
k = 3
Тогда АС = 3КР = 3*2√2 = 6√2

Чтобы найти радиус, нужно знать 2 остальные стороны (b и c)... 

[Semen_K]

Или хотя бы их произведение) Я пока тоже на этом застрял((

[Anatoliy]

Я не очень понял почему треугольники подобны, но если это так, то произведение двух оставшихся сторон 216корней из 2. Как получил: обозначим угол В альфа (подскажите как формулы писать тут у вас) тогда угол между высотами тоже альфа. Рассмотрим четырехугольник АКРС, его площадь 16. С другой стороны площадь можно найти как половина произведения диагоналей (они же высоты) на синус угла альфа.
Выразим высоты треуг через стороны и площадь треугольника и подставим в ранее полученное равенство, оно будет содержать произведение сторон и синус угла альфа. Выразим этот самый синус и подставим... есть такая формулв для радиуса описанной окружности - радиус опис окр-ти равен отношению стороны треугольника к двум синусам противоположного угла, запишем эту формулу для найденной стороны АС. Подставим вместо синуса полученное выражение.
С другой стороны используем формулу радиуса которую вы использовали в предидущих постах, через произведение сторон и площадь треуг. Т.к. это выражения одной и той же величины (радиуса) то правые части можно приравнять, получится уравнение относительно произведения а и с, решая его получаем то что написал выше, хотя может где и обсчитался, проверяйте. Может можно и короче, но я пас, находя одно решение дальше мне не интересно.