Вычислить двукратный интеграл в декартовой системе координат.

[Dlacier]

Отклоняясь от темы, можно с помощью таких интегралов находить площади фигур (думаю знаешь).
Например, есть прямоугольник \( y=0,\, y=2,\, x=0,\, x=3 \), находим площадь обычным так сказать способом: одну сторону умножаем на другую \( S\,=\,2\cdot 3\,=6 \), теперь с помощью интеграла: \( S\,=\, \int_0^3\left(\int_0^2 dy\right)dx=6 \).

Теперь по поводу примера, понимаешь почему необходимо разбить на две фигуры?

[Dlacier]

не, разбивать нужно не так.

у тебя получилась трапеция с вершинами: A(-2,0), B(-1,1), C(1,1), D(1,0) пока понятно?

[andreyko716]

не понятно то, что y=0 y=2 x=3 получается не замкнутая область... получается если смотреть слева на право, то от -бесконечности до x=3...

[andreyko716]

не, разбивать нужно не так.

у тебя получилась трапеция с вершинами: A(-2,0), B(-1,1), C(1,1), D(1,0) пока понятно?

это понятно

[Dlacier]

не понятно то, что y=0 y=2 x=3 получается не замкнутая область... получается если смотреть слева на право, то от -бесконечности до x=3...

теперь я не понимаю) и потом где прямая y=x+2

[Dlacier]

теперь почему же мы разбиваем: в предыдущем примере кривая \( y=x^3 \) непрерывно возрастала по всему отрезку \( x \) (\( -1\,\le\,x\,\le\,1 \)), поэтому и разбивать не было необходимости, здесь же прямая \( y=x+2 \) в рассматриваемой области (внутри трапеции) "работает" лишь на отрезке \( x\in [-2,-1] \), поэтому и при интегрировании целесообразно разбить участок по х на два..
Пока понятно?

[Dlacier]

кстати, это мы рассматриваем для случая ...dx)dy)
для ...dy)dx) все проще)

[Dlacier]

рассмотрим треугольник, для него \( -2\,\le\,x\,\le\,-1 \), а \( y \) меняется от нуля до \( y=x+2 \).
ну а с прямоугольником все просто.)
Жду вопросов.

[andreyko716]

1) почему она работает на -2 до -1
2) треугольник какие координаты ?
3) надо скайп... я буду говорить а вы послушаете, ну всмысле того, что в голос выразить то, что я хочу сказать намного легче и понятней.

[Dlacier]

1) найди пересечения прямой \( y=x+2 \) с прямыми \( y=0 \) и \( y=1 \)
2) из пункта 1) найдутся координаты
3) понятно что в процессе непосредственного диалога это легче и объяснить и понять, но у меня нет скайпа.)

[andreyko716]

да, вижу. две точки а где 3 брать ? с координатами (1,1) или (1,0)

[Dlacier]

это которые С и D? пересечение прямрй \( x=1 \) с прямыми \( y=0 \) и \( y=1 \)

[andreyko716]

две точки есть А и В, а третью где брать ?

[Dlacier]

из B опускаешь прерпендикуляр на ось Ox, пусть эта точка будет K

[andreyko716]

так. есть такое. получился треугольник и 2 квадрата