Вычислить двукратный интеграл в декартовой системе координат.

[andreyko716]

Ребят. Помогите кто-нибудь в этим: ссылка
       А вот то, что у меня получилось. вообщем я застрял. ссылка

[Dlacier]

функции \( y=1,\,\,\, y=x^3 \) пересекаются в \(  x=1  \), следовательно, \( -1\, \le x\, \le \,  1 \) (это также хорошо видно из рисунка), а \(  x^3\, \le y\, \le \,  1.  \)
\( \int_{-1}^{1}\, dx\, \int_{x^3}^{1}\, (1-y^2)\,dy \)

[andreyko716]

Это по У-ку. А по Х-у

[Dlacier]

вас похоже запись смущает.)
\( \int_{-1}^{1}\, dx\, \int_{x^3}^{1}\, (1-y^2)\,dy\,=\,\int_{-1}^{1}\, \left( \int_{x^3}^{1}\, (1-y^2)\,dy\right) dx\,  \)
теперь вопросов думаю нет)

[andreyko716]

вопросов нет по поводу записи для Х-са. А какие границы тогда для У-ка. ?? тут у нас   ....dy) dx.  а надо еще и  ....dx) dy

[Dlacier]

Ясно.)
Ну это тоже просто. Смотрим как меняется \( y \), а именно \( -1\, \le\, y \,\le\, 1 \) (думаю это понятно). Теперь рассмотрим x, он меняется от \( x=-1 \) до \( x=\sqrt[3]{y} \)   \( (-1\, \le\, x \,\le\, \sqrt[3]{y}) \)

[andreyko716]

Капец блин) я в принципе ориентируюсь, но понять как вычислить эти границы не могу((

[Dlacier]

смогу помочь, только если будут вопросы конкретные.) не знаю, что именно тебе не ясно.
в принципе нужно смотреть на графики, по ним все видно)

[Dlacier]

вообще конечно идеально будет еще хотя бы пару примеров сделать, тогда точно понятно станет)

[andreyko716]

Начну с "непоняток" по графику. Как вы смогли узнать что x^3 и 1 это границы ?  сейчас я гдето возьму еще пример. а напишу его и свое решение.

[Dlacier]

есть две функции \( y=x^3 \) и \( y=1 \), они на графике, а ту часть по которой нужно брать интеграл ты уже заштриховал, и видно, что \( y=x^3 \) ниже чем  \( y=1 \), значит и интегрируется от \( x^3 \) до 1 (это что касается ...dy)dx )

ждем)

[andreyko716]

вот пример, который только что делал. сразу скажу что граница от х+2 до 1 не правильно, я не знаю как узнавать это. ссылка

[andreyko716]

есть две функции \( y=x^3 \) и \( y=1 \), они на графике, а ту часть по которой нужно брать интеграл ты уже заштриховал, и видно, что \( y=x^3 \) ниже чем  \( y=1 \), значит и интегрируется от \( x^3 \) до 1 (это что касается ...dy)dx )

ждем)

а почему до 1 получается, если мы интегрируем по Х-су, то должны идти снизу вверх, а если по У-ку, то слева на право ?

[Dlacier]

а почему до 1 получается, если мы интегрируем по Х-су, то должны идти снизу вверх, а если по У-ку, то слева на право ?

там я объясняла как по у (когда сначала интегрируется по dy, а потом по dx: \( \int_{-1}^{1}\, \left( \int_{x^3}^{1}\,f(x,y)\,dy\right) dx\,  \)).
а вообще "если мы интегрируем по Х-су, то должны идти слева направо, а если по У-ку, то  снизу вверх",то есть в направлении возрастания.

По поводу примера. Он немного сложнее в плане того, что здесь необходио разбить на два интеграла. То есть данную трапецию разбей на треугольник и прямоугольник и попробуй для них расставить пределы.

[andreyko716]

та ппц. а как знать, когда его разбивать ? у меня такой бред вышел... я слева направо по Х-су иду(границы трапеции беру). Слева прямая Х+2 справа есть y=0 и y=1 что выбрать хз. ссылка