Предел последовательности

[annkhlous]

Привет!
У меня огромная проблема.
Я не могу понять , что такое предел последовательности. Вот тупо даже определение ... Предел последовательности- это число, к которому стремятся все чнемы последовательности при увеличении n?  Пожалуйста, не могли бы вы мне примитивным языком объяснить, что это такое?! Почему мы можем сами задать любое число эпсилон > 0  и почему мы сами задаем число N?

Вот например:
нам дана последовательность : 0,3 0,33 0,333...
Нужно доказать, что предел этой последовательности (при эн стремящемся  к нулю) равен одной третьей.
В учебнике дано решение: Общий член последовательности а энное неограниченно приближается к одной третьей. ( это понятно. чем больше эн, тем больше будет троек после запятой, а одна-третья- это 0,(3) если я не ошибаюсь). Действительно, разность а энного и одной третьей последовательно равна : a1-1/3=-1/30 и т.д.(вот тут у меня появляется вопрос. Зачем нам нужно искать эту разность? Как я поняла , это разность между любым членом последовательности и пределом последовательности? То есть итог этой разности= это как бы расстояние , от какого-либо члена до конца, т.е до того числа к которому он стремится?) Неограниченность приближения а энного к одной третьей выражается в том, что абсолютная величина разности an-1/3 , начиная с некоторого номера, остается меньше любого (заранее заданного) положительного числа эпсилон. ( В этой фразе мне не понятно:"начиная с некоторого номера, остается меньше любого (заранее заданного) положительного числа эпсилон " То есть эпсилон как -то зависит от номера? И вообще, мы же можем эпсилон взять хоть 100?) Так, если задать эпсилон = 0,01, то N можно выбрать= 1, поскольку начиная со второго номера  (n>N)  , абсолютная величина остаётся меньше 0,01. (ЧТО ТАКОЕ ЭТО N ?       Я посчитала и поняла, что они имелли ввиду. Но как они взяли эпсилоН?! Просто предположили? Если взять эпсилон 10, то как определить тот номер, с которого будет выполнятьтся неравенство (Ian-aI <эпсилон )? Главный вопрос : КАК НАЙТИ n МАЛЕНЬКОЕ- ТО ЕСТЬ НОМЕР ЧИСЛА В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, И ЗАЧЕМ НАМ N БОЛЬШОЕ??? ЧТО ОНО ОЗНАЧАЕТ?




Извините за длинный и непонятный текст, просто это действительно трудно понять , по крайней мере мне.

[Dlacier]

даже часть определения вы "криво" написали...
попробуйте прочитать первое определение, может понятнее станет
Предел числовой последовательности
а по поводу послелних вопросов: это является необходимым и достаточным условием сходимости последовательности (так сказать закон), и если это не выполняется значит послед-ть расходится.
и кстати, N мы не сами задаем, мы говорим что существует такой номер N члена последовательности, начиная с которого и т.д. (не буду переписывать определение)

если уж совсем никак, могу расписать все словами)
а вообще может вам просто практики не хватает.)

[Dlacier]

ооо, ваш вопрос стал длиннее...)

[annkhlous]

) да, длиннее. Но я вот тут просто с ума схожу уже) Наверное я уже перечитала информации про эти пределы.
И вот сейчас я пришла к тому, что не понимаю разницу между маленьким эн и большим.
Маленькое- это номер члена последовательности, как я уже и говорила,
а Большое - это что?! это число меньшее маленькой эн?


)Ещё раз простите за мою "непонятливость"

[Dlacier]

еще раз определение:
Число b (из R) называется пределом числовой последовательности , если для любого наперед заданного положительного числа эпсилон (кстати епсилон в математике обычно, так сказать по умолчанию, считается малым числом, ну никак не 100 и даже не 1:) ), существует номер последовательности N, которое как раз зависит от епсилон, но не наоборот! такой, что для любого последующего члена последовательности (для любого n больше или равного N), выполняется соотношение
\( |a_n-b|< \epsilon \)

\( a_1, a_2, \,\ldots\, ,a_N,\, \ldots,\, a_n, \,\ldots \)

[annkhlous]

Ой, спасибо огромное!!!
Я разобралась!!!!
 

[Manka]

Помогите тоже понять

существует номер последовательности N, которое как раз зависит от епсилон

1)непонятно, например есть последовательность 5,6,7,8,9... число 5 (это соответствует n1) 6(n2) 7(n3) 8(n4) 9(n5)... Правильно? А большая "N" (что это такое) как зависит, например в этой же последовательности от ?
2)Как я поняла последовательность имеет предел "a",т.е.  все последующие числа, входят в этот предел? так? например не помет быть такого, что числа выходят из предела?

[Manka]

Помогите кто знает, совсем чуть-чуть до понимания осталось

[Dlacier]

Может быть такое что предела не существует, как в вашем примере.

[Dlacier]

хотя я неверно говорю, в вашем случае \( \lim_{n \to \infty} n = +\infty \)