Помогите найти частные производные первого и второго порядка

[fitisoval]

Задание звучит так: найти частные производные первого и второго порядка и дифференциал функции Z(x,y)=sin(xy)-(xy^3)/(x+y).
нашла первые производные (правда сомневаюсь правильно или нет):
Z'(x)=y*cosy-y^4/(x+y)^2
Z'(y)=x*cosx-(3x^2y^2+2xy^3)/(x+y)^2
и нашла вторую производную по x:
Z"(x)=(2y^4)/(x+y)^3
А дальше я зашла в тупик.
Помогите пожалуйста, надо до завтрашнего дня решить.
Заранее благодарна.

[Asix]

Для написания формул используйте TEX, так удобнее.
Проверьте первые производные, там вроде ошибки!

P.S. Вот полезный теоретический материал для нахождения производных и дифференцирования:
Таблица производных
Свойства производных
Формулы дифференцирования
Для нахождения производных и дифференцирования этот материал надо знать обязательно!

[Dlacier]

\( z=\sin(xy)-\frac{xy^3}{x+y} \)
первые частные производные нашли неверно, интересно как вы их находили?
\( \frac{\partial z}{\partial x}=y\cos (xy)+\frac{xy^3}{(x+y)^2}-\frac{y^3}{x+y} \)

распишите подробнее как делали.

[Asix]

Распишите решение первых производных, тогда мы сможем их проверить =))

[fitisoval]

Z'(x)=y(cosY)-((xy^3)'*(x+y)-(xy^3)(x+y)')/(x+y)^2=y(cosy)-(y^3(x+y)-xy^3)/(x+y)^2=y(cosy)-(xy^3+y^4-xy^3)/(x+y)^2=y(cosy)-(y^4)/(x+y)^2 , пока расписала сейчас я поняла , что упустила x в cos значит получается Z'(x) = ycos(xy)-(y^4)/(x+y)^2
т.к. в тригонометрической части были пропущены переменные я вношу сразу корректировку
Z'(y)=y(cos(xy)-((xy^3)'*(x+y)-(xy^3)(x+y)')/(x+y)^2=y(cos(xy)-((3xy^2(x+y)-xy^3)/(x+y)^2 =
y(cos(xy)-(3x^2y^2+3xy^3-xy^3)/(x+y)^2=y(cos(xy)-(3x^2y^2+2xy^3)/(x+y)^2
вторая производная по x будет выглядеть так:
Z"(x)= -ysin(xy)-((y^4)'(x^2+2xy+y^2)-(y^4(x^2+2xy+y^2'/(x+yy)^4=-ysin(xy)-((-y^4(2x+2y))/((x+y)^4=
-ysin(xy)+(2y^4(x+y))/(x+y)^4=-ysin(xy)+(2y^4)/(x+y)^3

[Asix]

Я имел ввиду распишите в TEX, то что Вы написали - нечитабельно =((

[fitisoval]

Честно говоря я не знаю как им пользоваться, т.к я впервые пользуюсь форумом, с такими
вопросами я не обращалась, а подсказки я не увидела

[Dlacier]

Могу отправить книгу по LaTex (на почту), если нужно. Это читать невозможно на самом деле.

Первые вроде верно теперь, а вот вторая нет, перед синусом игрик должен быть во второй степени.

[Dlacier]

Не забудьте про смешанную производную второго порядка.

[fitisoval]

Сделала вкладыш, посмотрите пожалуйста решение, если все правильно. то подскажите как дальше действовать
со второй производной по у проблемы (запуталась), а еще впереди дифференциал

[Dlacier]

первые частные производные найдены правильно.
в \( \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \) вы неверно берете производную от \( y\cos(xy) \).
повторюсь, должно быть \( -y^2\sin(xy)+\frac{2y^4}{(x+y)^3} \)

[Dlacier]

остальное верно.
пишите, что получилось для \( \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} \).
еще нужно сосчитать \( \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} \) \( \left(\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\right) \).
а полный дифференциал -- самое простое.

[Dlacier]

напишу ответы, как до них дойдете не знаю, но если вопросы возникнут, задавайте.

\( \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=-x^2\sin(xy)-\frac{2xy(3x^2+3xy+y^2)}{(x+y)^3} \)
\( \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}=-\frac{2y^3(2x+y)}{(x+y)^3}+\cos(xy)-xy\sin(xy) \)
ну а полный дифферениал расписывается по формуле
\( dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy \)

[fitisoval]

Спасибо за помощь

[fitisoval]

Глядя на ответы Dlacier не могу понять, как получился -xy*sinxy
да и с разложением множителей  запуталась