Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

[leno4ek-106]

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:
\( z=4-y^2 \)
\( x^2+y^2=4 \)
\( z\geqslant 0 \)
\( V=\int\int\int_Vdxdydz=\int_{-2}^{2}dx\int_{?}^{?}dy\int_{0}^{4-y^2}dz \)
Помогите пожалуйста расставить пределы интегрирования

[Данила]

от \( -\sqrt{4-x^2} \) до \( \sqrt{4-x^2} \) видимо

[leno4ek-106]

Спасибо)осталось только его посчитать...

[leno4ek-106]

В ходе решения этого интеграла у меня получается вот такой, но я не знаю что с ним дальше делать, подскажите пожалуйста:
\( \frac {32} 3\int_{-\frac {\pi}2}^{\frac {\pi} 2}2cos^2t+sin^2tcos^2tdt \)

[Alexdemath]

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:
\( z=4-y^2 \)
\( x^2+y^2=4 \)
\( z\geqslant 0 \)
\( V=\int\int\int_Vdxdydz=\int_{-2}^{2}dx\int_{?}^{?}dy\int_{0}^{4-y^2}dz \)
Помогите пожалуйста расставить пределы интегрирования

Здесь надо использовать полярные координаты:

\( V=\iint\limits_{x^2+y^2\leqslant4}{dx\,dy}\int\limits_0^{4-y^2}{dz}=\iint\limits_{x^2+y^2\leqslant4}(4-y^2)\,dx\,dy=\left\{\begin{gathered}x=\rho\cos\varphi,\hfill\\y=\rho\sin\varphi,\hfill\\dx\,dy=\rho\,d\rho\,d\varphi\hfill\\\end{gathered}\right\}= \)

\( =\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^2(4\rho-\rho^3\sin^2\varphi)\,d\rho=\int\limits_0^{2\pi}\!\left.{\left(2\rho^2-\frac{\rho^4}{4}\sin^2\varphi\right)}\right|_0^2d\varphi= \)

\( =\int\limits_0^{2\pi}\!\left(8-4\sin^2\varphi\right)d\varphi=\int\limits_0^{2\pi}\Bigl(8-2\,(1-\cos2\varphi)\Bigl)d\varphi= \)

\( =\int\limits_0^{2\pi}\!\left(6+2\cos2\varphi\right)d\varphi=\!\left.{\left(6\varphi+\frac{2}{3}\sin2\varphi\right)}\right|_0^{2\pi}=12\pi \) (куб. ед.).

[Casper]

В ходе решения этого интеграла у меня получается вот такой, но я не знаю что с ним дальше делать, подскажите пожалуйста:
\( \frac {32} 3\int_{-\frac {\pi}2}^{\frac {\pi} 2}2cos^2t+sin^2tcos^2tdt \)

вообще такие интегралы легко решаются
см. http://www.webmath.ru/poleznoe/trig_formules.php#3
\( \int_{-\frac {\pi}2}^{\frac {\pi} 2}2cos^2t+sin^2tcos^2tdt= \)
\( =\int_{-\frac {\pi}2}^{\frac {\pi} 2}(1+cos(2t)) dt+ \int_{-\frac {\pi}2}^{\frac {\pi} 2} \frac{1}{4}sin^2(2t)dt= \)
\( =(t+\frac{1}{2}sin(2t))|_{-\frac {\pi}2}^{\frac {\pi} 2} + \int_{-\frac {\pi}2}^{\frac {\pi} 2} \frac{1}{8}(1-cos(4t))dt= \)
\( =\left(t+\frac{1}{2}sin(2t)+ \frac{1}{8}t-\frac{1}{32}sin(4t)  \right)|_{-\frac {\pi}2}^{\frac {\pi} 2} =\frac{9\pi}{8} \)

\( V=\frac{32}{3} \cdot \frac{9\pi}{8}=12\pi \)

[leno4ek-106]

вообще такие интегралы легко решаются
см. http://www.webmath.ru/poleznoe/trig_formules.php#3
\( \int_{-\frac {\pi}2}^{\frac {\pi} 2}2cos^2t+sin^2tcos^2tdt= \)
\( =\int_{-\frac {\pi}2}^{\frac {\pi} 2}(1+cos(2t)) dt+ \int_{-\frac {\pi}2}^{\frac {\pi} 2} \frac{1}{4}sin^2(2t)dt= \)
\( =(t+\frac{1}{2}sin(2t))|_{-\frac {\pi}2}^{\frac {\pi} 2} + \int_{-\frac {\pi}2}^{\frac {\pi} 2} \frac{1}{8}(1-cos(4t))dt= \)
\( =\left(t+\frac{1}{2}sin(2t)+ \frac{1}{8}t-\frac{1}{32}sin(4t)  \right)|_{-\frac {\pi}2}^{\frac {\pi} 2} =\frac{9\pi}{8} \)

\( V=\frac{32}{3} \cdot \frac{9\pi}{8}=12\pi \)

Спасибо большое, уже поняла, что можно их разбить на два