Тензорный и векторный анализ ^.^ <3

[Janny]

Даны координаты радиус вектора..

x = U + U/(U²+V²)
y = V - V/(U²+V²)

найти
а) Метрическую формулу объема, метрический тензор
б) градиент
в) дивиргенцию
г) дивергенцию градиента (лапласиан)

Я решала это на контрольной.. вроде все решила, знаю как решать, но дойдя до дивиргенции, запуталась в элементарной математике.. Препод перечеркнул всю работу и не сказал в каком месте ошибка.. пытаюь найти, не могу.. подозреваю напортачила с вычислением часной производной >.<

Мое решение:

вычисляем по формулам:
d/dU =dx/dU * e₁ + dy/dU * e₂    
d/dV =dx/dV * e₁ + dy/dV * e₂  

d/dU = (1- (U²-V²)/(U²+V²)²) * e₁ + 2UV/(U²+V²)²) * e₂

d/dV = (1- (U²-V²)/(U²+V²)²) * e₂ - 2UV/(U²+V²)²) * e₁

используя матрицу Грама получаем,

g₁₁ = < d/dU, d/dU >    d/dU * d/dU
g₂₂ = < d/dV, d/dV >    d/dV * d/dV

g₁₁ = [ (1- (U²-V²)/(U²+V²)²)  + 2UV/(U²+V²)²) ]²

g₁₁  и g₂₂ равны, => детерминант матрицы Грама будет равен g₁₁².

метрический тензор  объем просто по известной формуле.. градиент тоже.

а вот с дивергенцией возникли проблемы в упрощении.. так же как и с лапласианом..
Формулы знаю, чисто алгебраические упрощения на три страницы
Все же я производную в начале не верно нашла?

[Dlacier]

g₁₁ = < d/dU, d/dU >
g₂₂ = < d/dV, d/dV >

они равны, => детерминант матрицы Грама будет равен g₁₁².

эту часть вашего решения не понимаю.
Напишите подробнее как нашли определитель матрицы

[Janny]

detG = ( [ (1- (U²-V²)/(U²+V²)²)  + 2UV/(U²+V²)²) ]⁴)


// исправила в первом сообщении, немного

[Janny]

Напишите подробнее как нашли определитель матрицы

  g₁₁  g₂₂
(             ) = G_ij
  g₂₁  g₂₂

пользуясь ортогональностью e₁ и e₂ получаем

 е₁ * е₂ = 0
 е₁ * е₁ = 1
 е₂ * е₂ = 1

[Dlacier]

у меня получилось

\( g_{11} = 1+\frac{1-2(u^2-v^2)}{(u^2+v^2)^2} \)

[Dlacier]

и вот еще

  g₁₁  g₁₂
(             ) = G
  g₂₁  g₂₂

[Janny]

dx/dU = 1 + ((U²+V²)-2U²) / (U² + V²)² так?
упрощаем...

1+ (V²-U²) / (U²+V²)²

[Janny]

у меня получилось

\( g_{11} = 1+\frac{1-2(u^2-v^2)}{(u^2+v^2)^2} \)

а почему в g₁₁ нет второго слагаемого, которое с вектором е₂?

[Dlacier]

теперь распишите как находили \( g_{11} \))

[Dlacier]

\(  g_{11}=\frac{\partial x}{\partial U}\cdot \frac{\partial x}{\partial U}+\frac{\partial y}{\partial U}\cdot \frac{\partial y}{\partial U} \)

[Janny]

\(  g_{11}=\frac{\partial x}{\partial U}\cdot \frac{\partial x}{\partial U}+\frac{\partial y}{\partial U}\cdot \frac{\partial y}{\partial U} \)

мммм... это формула не для g₁₁.. а для d/dU...

g₁₁=< d/dU , d/dU >

[Janny]

то есть произведение...

или я тупо теорию не знаю?

[Dlacier]

да, произведение)
но \( \frac{\partial}{\partial U} \) это вектор, а \( g_{11} \) скалярная величина.
то есть по существу нужно \( \frac{\partial}{\partial U} \) умножить на себя скалярно.

[Janny]

ааааа.. все, просто формулу немного не узнала по внешнему виду в сообщении 9. Сейчас посчитаю еще раз сама

[Dlacier]

ведь изачально вам дан вектор, обозначим его r.
иначе \( r=x e_1 +y e_2 \) так ведь?
потом берутся частные произодные, это и есть ваша запись
\( \frac{\partial r}{\partial U} \), \( \frac{\partial r}{\partial V} \)