Вопрос по теории групп

[Nikgamer]

Всем привет.
В бесконечной группе G каждый элемент имеет конечный порядок и каждая подгруппа нормальна. Может ли группа G не быть абелевой?

[Данила]

если каждый элемент имеет конечный порядок,то в любом случае будет выполняться коммутативность,то есть в любом случае абелева. или нэ?

[Dlacier]

можно либо строго доказать, что при данных условиях группа G будет абелева, либо привести пример неабелевой группы (такой, чтобы выполнялись вышеупомянутые условия).

[Nikgamer]

если каждый элемент имеет конечный порядок,то в любом случае будет выполняться коммутативность,то есть в любом случае абелева. или нэ?

А как одно из другого следует? Как-то совсем сомнительно.

можно либо строго доказать, что при данных условиях группа G будет абелева, либо привести пример неабелевой группы (такой, чтобы выполнялись вышеупомянутые условия).

Думаю, что контрпример существует, ибо уж больно сильное утверждение тогда получается. Ладно, посканирую литературу, может удумаю чего.

[Nikgamer]

Нашел таки решение. Группа не обязательно будет абелевой. Если взять группу Q8, у которой любая подгруппа нормальна и сама группа неабелева (так называемая гамильтоновая группа) и прямо умножить эту группу на любую абелеву группу, то получится группа, в которой любая подгруппа нормальна, а сама группа по-прежнему неабелева.

[Dlacier]

интересно.
кто ищет, тот всегда находит