Прошу проверить примеры: ряды, дифференциальные уравнения

[Isharimu]

Здравствуйте, товарищи, прошу подсобить в проверке примеров, два на ряды и двое дифференциальные, всего четыре...
Три из них решены, как я думаю, полностью, четвертый никак не хочет поддаваться...
Но, все по порядку:

1)
ряд 2ⁿ/nⁿ
над знаком суммы: бесконечность, под: n = 1 (как и в следующем примере)

Решение:
y_n=2ⁿ/nⁿ
y_n+1=2ⁿ⁺¹/nⁿ⁺¹
R = Lim 2ⁿ*nⁿ⁺¹/nⁿ*2ⁿ⁺¹ = Lim n/2 = бесконечность/2 = бесконечность
Под знаком предела n стремится к бесконечности


2)
ряд (-1)ⁿ⁺¹ 10ⁿ/3ⁿ

Решение:
В этом примере у меня есть подозрения что это еще не всё решение...
y_n=10ⁿ/3ⁿ
y_n+1=10ⁿ⁺¹/3ⁿ⁺¹
R = Lim 10ⁿ*3ⁿ⁺¹/3ⁿ*10ⁿ⁺¹ = Lim 3/10 = 3/10
-(3/10) < n < 3/10


3)
диффур y'' - 9y = 120e^3x

Решение:
y'' - 9y = 0
x² + 9 = 0
По дискриминанту x₁= 3; x₂= -3
Ответ: y = 120e^3x*(C₁e^3x + C₂e^-3x)


И последний, но не по значению и сложности:
диффур 5x²y' = y² + y
И тут я застопорился... Я так понял есть два, буквально, одинаковых варианта, это поделить все на 5x², или перенести этот икс за знак равно. Это просто, это я сделал, а далее? Представлять как dy/dx?
У меня есть конспекты, та и в интернете их полно, но я не могу подобрать нужный шаблон под пример...

[Asix]

y'' - 9y = 0
x² + 9 = 0

Интересно, а как это получилось ?? =))

[lu]

опечатка кажись =)

ну общее однородное вы нашли
y=c1*e^3x+c2*e^-3x
теперь должны получить решение общего неоднородного
или ж методом вариации или ж поиском частного неоднородного.

а последнее это ж уравнение с разделяющимися переменными =)

а в первом и во втором заданиях целесообразно наверное воспользоваться радикальным признаком коши

[Isharimu]

Интересно, а как это получилось ?? =))

Где-то я это утром увидел ) даже не помню где... Может действительно опечатка...

ну общее однородное вы нашли
y=c1*e^3x+c2*e^-3x
теперь должны получить решение общего неоднородного
или ж методом вариации или ж поиском частного неоднородного.

а последнее это ж уравнение с разделяющимися переменными =)

а в первом и во втором заданиях целесообразно наверное воспользоваться радикальным признаком коши

Насчет первого и второго задания: т.е. мне нужно еще указать сходятся ли ряды или нет?
Насчет уравнения с разд. пер. - спасибо! Не помнил как оно точно называется, буду теперь искать =))

И насчет третьего:

φ(x) = B*e^3x
y_φ = B*e^3x
y'_φ = 3*B*e^3x (y' в примере нет, так что эта строчка упускается)
y''_φ = 6*B*e^3x

6Be^3x - 9Be^3x = 120e^3x
B = -40e^3x

Я нашел то что надо было найти? -)

[lu]

без е в степени 3х =)

[Isharimu]

всё, ясно, спасибо большое )