Помогите с пределами.

[4got10]

В контрольной попадаются примерно такие пределы.. (вложения)
Просьба объяснить решение.. Поподробнее, математика тяжело дается.
Либо ссылочку на материал где именно разобраны решения чего то подобного..
Более простые пределы вроде решаются, а те, что на контрольной никак
Так что оч нужно понять тему.

[Данила]

читайте в теории
1. правило Лопиталя
2. эквивалентности в пределах
3. 1ый и 2ой замечательные пределы

[4got10]

Не все понятно бывает все же..  Не мог бы кто нибудь знающий на примере решения этих видов показать алгоритм решения? (У вас на сайте есть замечательный раздел, где показаны примеры решения слау методами крамера и гаусса, это очень помогло мне в первом семестре, для самоконтроля очень хорошая вещь.. Неплохо было бы если появился такой же и по матану.)
 
Вот в первом, например, получил 2/5, но не 4, радует конечно, что хоть знаменатель верный и истина где то рядом  Числитель решал путем выноса за скобку. Попробую еще один способ, надеюсь решу правильно)
Кстати, решения, что у меня записаны здесь-правильны? через программу решал конечно, но мало ли..
 

[Данила]

правило лопиталя там

lim g(x)/f(x)=[0/0]=lim g'(x)/f'(x)

тоесть нужно найти производные числителя и знаменателя и подставить,то к чему стремиться х. если опять получается 0\0 еще раз находим производные и тд

[Данила]

2ое. есть свойство,что при х-> 0 эквиваленты следующие величины

sinx~x
tgx~x
1-cosx=x²/2

тогда заменяещь сначала в знаменателе 1-сos4x на 16х²/2=8x²
далее заменяешь sin2x на 2x. получается 2х²/8x²=1/4

[Данила]

3ий аналогично первому, по Лопиталю

[Данила]

4ый

сначала заменяем sinx на х

далее используем 2ой замечательный предел

(1+1/x)^x=e

у нас

(1+3х)^1/x

нужно привести к виду общей формулы,для этого степень поделим и умножим на 3

((1+3х)^1/3x)³

под кубом получили формулу как,приводилось ранее...значит этот пределе = е³

[4got10]

Спасибо, правда 2ой, 3ий и 5ый решил самостоятельно пока ждал ответы 
Вот 3ий только решал не по Лопиталю, а умножил числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, посчитал числитель, а в знаменателе вышла разность квадратов. В итоге сократились (x-3), и после подстановки получилось -1/24

[4got10]

Сорри, 5ый не выкладывал сюда, ибо очень простой 
А вот как первый не по Лопиталю решить?
Я там что только не выносил в числителе) Может через замену переменной?

[Данила]

x³+x²-x-1=x(x²-1)+(x²-1)=(x-1)(x+1)(x+1)
2x²+x-3=2(x-1)(x+1.5)

x-1 сокращается

подставляем 1,
(2*2)/(2*2.5)=4/5

[4got10]

Решил 4ый так(вложение) (в примере ток тройку перед sinx забыл когда переписывал, а в решении все норм)
Вроде смысл ясен.
Но вот буквально недавно услышал, что Заменять функции на эквивалентные в сумме и разности нельзя. А там как раз таки сумма вначале.. Незнаю что и думать 

[Данила]

давай тогда по другому

lim((1+3sinx)^1/3sinx)^3sinx/x=e^{lim 3sinx/x}=[по 1ому замечательному пределу lim sinx/x=0]=e³