Интегралы. Помогите, пожалуйста, дорешать пример

[suricat555]

Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, дорешать пример:

∫(x² - 5x + 9) / (x² - 5x +6) dx

Делим числитель на знаменатель уголком:

(x² - 5x + 9) / (x² - 5x +6) = 1 + 3 / (x² - 5x + 6

∫1 + 3 / (x² - 5x + 6  dx = x + ∫ 3 / (x² - 5x +6) dx =

Я не знаю, как дальше решить этот интеграл, подскажите, пож-та!

[suricat555]

У меня есть предположения, что нужно всё это представить в виде системы A + B = 1 и ещё какое-то выражение.
Наверное, надо решить квадратное уравнение x² - 5x + 6
x1 = 3
x2 = 2

3 / x² - 5x + 6 = А / (x + 3) + B / (x + 2)  - Здесь в знаменателх точно должны быть "+"?

Теперь, если я всё верно сделала, надо найти общий знменатель, в данном случае домнажаем 1 выражение на x+2, а второе - на x+3
Получаем:

(Ax + 2A  + Bx + 3B) / x² - 5x + 6 = ((A+B)x  + 2A + 3B) /  x² - 5x + 6

[Данила]

метод неопределенных коэффицентов ...
3/(x²-5x+6)= 3/(x-2)(x-3)

A/(x-2) + B/(x-3)=1/(x²-5x+

A(x-3)+B(x-2)=1
Ax+BX-3A-2B=1

A+B=0
-3A-2B=1

A=-B
3B-2B=1
B=1
A=-1

получаем

-1/(x-2)+1/(x-3)=1/(x²-5x+6)

P.S. Вот полезный теоретический материал для решения интегралов:
Таблица интегралов
Свойства интегралов
Формулы интегрирования

[suricat555]

А почему  

3 / (x² - 5x + 6) = 3 / (x-2)(x-3)    - в знаменателе минусы? По какому правилу Вы эти знаки расставляете?

-1/(x-2)+1/(x-3)=1/(x²-5x+6) - это ведь не ответ? И это выражение ещё нужно поинтегрировать?

A+B=0 - почему A+B = 0, а не 1? Объясните, пожалуйста, не поняла этот момент.

[Данила]

так....начнем по порядку

в знаменателе минусы ибо корни 2 и 3

при разложении многочлена на множетели корни всегда берутся с -

простой пример

(x-a)(x-b)=0

выражение слева =0 когда хотя бы одна из скобок =0
пишем систему
x-a=0
x-b=0

значит x=a и x=b
видите теперь почему - в скобках? честно говоря это 8ой класс,квадратные уравнения)

далее

да с помощью метода неопределенных коэфицентов мы разбиваем дробь с сложным выражение в знаменателе на элементарные функции,которые берутся в 2 счета

далее

Ax+BX-3A-2B=1

здесь,нам нужно приравнять коэфиценты при  х в левой части к коэфицентам в правой,и свободные от х члены левой,к свободным членам правой части

x(А+B)-(3A+2B)=0*х+1

видите? спава х не было,но можно представить ,что там  стоял х*0,ведь это ничего не меняет. ну а далее приравниваем А+В к 0 и -3А-2В(свободные члены слева) к 1(свободный член справа),

[Alex van Global]

Разложите знаменатель на (x-2)(x-3),  а дальше эту правильную дробь представляйте в виде суммы простейших дробей.

(x²-5x+9)/(x-2)(x-3)=A/(x-2)+B/(x-3)

x²-5x+9=A*(x-3)+B*(x-2)
Я придерживаюсь такому правилу: а) есь метод сравнения степеней -громоздкий
 б) - берёшь корни зраменателя и ..подставляешь.
получается A=-3 B=4 ,if я не ошибся.

So, -int -dx/(x-2)+4int dx(x-3) = 4ln|x-3|-ln|x-2| = ln|(x-3)⁴ /(x-2)|                                            

[Alex van Global]

 Я могу ошибаться!   Не забывайте)))))

[suricat555]

Спасибо вам большое за помощь!

Я решила, и у меня получился ответ x-3ln|x-2| + ln|x-3| + C
А в учебнике x+3ln|x-3|-3ln|x-2| +C.

[Данила]

ну потому что вы 2ую дробь на 3 не умножили)

у вас было

3/(x-2)(x-3) =3(-1/(x-2)+1/(x-3))  а вы только 1ин элемент в скобках на 3 умножили...

[suricat555]

Ой, точно!!! Спасибо, Данила!!! Наконец-то поняла, как решать!!!  

[suricat555]

А у меня появились новые вопросы. Я сейчас разбираю пример на тему интегрирование иррациональных функций.
(это уже решёный пример в учебнике).

∫√(1-x)/(1+x) * dx / (1+x)

Делаем замену переменной:

t = √(1-x)/(1+x)    (эта дробь вся под корнем)

1. Затем в учебние пишут: тогда x= (1-t²)/(1+t²)   А почему?
если просто попытаться вырзить x из этого выражения, у получилось так:
t² = (1-x)/(1+x)

1+x = (1-x) / t²

x = (1-x)/(t²) - 1

И не получается так, как в учебнике...

2. Потомнаходят dx - это производная от x, который я не понимаю, откуда взялся.


dx = - (4tdt)/(1+t²)²

3. Затем ищут (1+x)

1+x = 2/(1+x²)   И как нашли это, я тоже не понимаю. Не могли бы вы мне помочь с этим разобраться, пожалуйста?

[Alex van Global]

Потому, что: t²=(1-x)/(1+x)   1-x=t²*(1+x)  1-x=t²+t²x

1-t²=t²x+x     1-t²=x(t²+1)  x=(1-t²)/(1+t²)

[suricat555]

Alex van Global, спасибо Вам!  

[suricat555]

Добрый день!
Помогите мне, пожалуйста, найти ошибку.
Нужно найти площадь фигуры, ограниченной графиками.
y = 2/x
y = -x/2 - 5/2

График нарисовала: первый граф. находится в первой четверти, и в третьей, второй - в третьей.

Приравниваем 2/x = -x/2 - 5/2
находим знчения x
x1 = -4     x2 = -1    - это и есть пределы интеграла.

Теерь интегрируем, отнимаем от "верхней" ф-ции "нижнюю".  пределы интеграла от -4 до -1.

∫2/x -(-x/2 - 5/2) dx

∫2/x + x/2 + 5/2 dx = 2ln|x| + x² / 4 +5/2*x

Теперь сначала подставляем -1 вместо x, затем отнимаем выражение, подставляя -4. Итоговй ответ у меня получился такой: 2ln|1| - 2ln|-1| + 6.75

А ответ в учебнике (15-16) ln|2|) / 4   В чём у меня ошибка? Помогите, пожалуйста.

[suricat555]

Я в ответе ошиблась. Это же модуль, и там не может быть минуса. Значит, 2 ln1 и -2ln1 сокращаются, и остаётся одно число: 6,75!


А с ответом всё-равно не сходится...