Глубина знаний по математике

[jx7e]

  Недавно обнаружил, что всегда знал математику (ну, возможно, начиная с 6-го класса) довольно поверхностно. Учился в языковой школе, по математике была оценка "отлично", впрочем как и сейчас в ВУЗе. Однако, окончив 11-ый класс, понял, что большинство того, чему я научился в школе по математике - это рецепты решения задачек. Особенно это было заметно на олимпиадах в 10-11-х классах и при решении нестандартных задач по стереометрии/планиметрии. Доказательств мы никогда не учили, в суть явлений не углублялись, все сводилось к решению типовых задачек. Сейчас учусь на первом курсе экономического ВУЗа, наблюдаю подобное явление. Курс анализа длился чуть больше чем полгода. Весь курс опять же был посвящен заучиванию "рецептов" решений задач, темы давались очень поверхностно. От трехмесячного курса линейной алгебры у 90% учащихся не осталось ровным счетом ничего, кроме знания слов "линейное пространство", "матрица" и т.д. Если меня сейчас спросить, что такое линейное пространство, предел функции, что такое Лагранжиан - ответить ясно не смогу. Подобное изучение предмета я считаю не только бесполезным, но в некоторой степени даже вредным. Таким образом, я пришел к выводу, что без понимания явлений, теории, изучение математики абсолютно бесполезно. Ведь всё, что сумел заучить, но не понял, не разобрал на составные части - забывается через полгода, максимум через год. О теме остается лишь смутное воспоминание.
  Я понимаю, что, по большому счету такое поверхностное изучение - моя вина. Читать дополнительные материалы, выходящие за рамки курса, мне всегда было лень. Единственное исключение - изучение основ дифференцирования в 10-ом классе. Тогда я прочитал не только учебник, доказательства, но и достаточно материала по теме, вроде интерпретаций, применения в других областях науки и т.д. После этого проблем с "школьными" производными не возникало, все задачки, в т.ч. текстовые, я ясно понимал, многие формулы из таблицы вывел сам. Заучивать по этой теме ничего не пришлось, как и по "пересекающимся" темам по физике.
  Сейчас чувствую, что все больше и больше "удаляюсь" от предмета, изучать ответвления анализа без понимания для меня - просто мучение, сейчас - дифференциальные уравнения, а потом и тер. вер. и подобные предметы. Остро чувствую потребность углубить и расширить школьные знания и знания по курсу основ мат. анализа, планирую заняться этим летом, поэтому хотелось бы задать несколько вопросов посетителям форума:
 1) Как, на ваш взгляд, наиболее полно изучить курс мат. анализа? Мне уже посоветовали учебник - Зорича, оба задачника Демидовича у меня есть. Каким образом наиболее эффективно будет учить самому? Внимательно прочитывать главу, не пропуская ни кусочка, вопроизводить доказательства на листочке и решать соответствующие задачи из Демидовича? Или же просто прочитывать? Стоит ли учить формулировки теорем (естественно, после того, как поймешь, в чем их суть) ?
 2) По каким учебникам можно изучить более подробно "школьный" курс алгебры и геометрии? Читать школьные учебники, честно говоря, довольно скучно..Опять же вопрос: насколько подробно изучать материал?
 3) Существуют ли отдельные книги по "школьным" темам, где материал излагается на более серьезном уровне? К примеру, тригонометрия? Доказательства, информация о предмете, его применение в жизни?
  Реально ли наверстать упущенное, или я уже очень сильно опоздал?

[Nikgamer]

А что вы хотите от языковой школы и экономфака? Чтобы вам там рассказывали теорию метрических пространств и бесконечномерных групп? Вы коррелируйте то, где вы учитесь с тем чему вы учитесь. Подобная "обезьянная" практика давно уже норма в школах, даже с математическим уклоном - вот в чем проблема, хотя мне повезло, я учился в очень сильном месте. В этом вашей вины, наверное, все же нет.
Теперь постараюсь ответить на вопросы.
1) Ответ только один - посещать лекции и семинары студентов механико-математического факультета (или ему эквивалентных). Я очень сомневаюсь, что без посторонней помощи вы сможете познать теорию интегрирования по Риману или Лебегу и много других тем. Учебник Зорича, конечно, хороший, но он тяжек к прочтению, если это не слушал в устной форме, я считаю.
2) Сложный вопрос, думаю, хороших учебников на эту тему нет. Лучше, скажем, изучать производные в контексте изучения общего дифференцирования функций, стереометрию в процессе изучения аналитической геометрии и т.д.
3) Да не знаю даже. Почти во всех учебниках по матану есть раздел элементарные функции, где доказывают эквивалентность "школьного" косинуса и косинуса обычного. Думаю, если вы хотите найти что-то вроде "Сборник всех формул по тригонометрии с доказательствами", то гугл поможет.

[jx7e]

Nikgamer
Хочу, чтобы подробно рассказывали теорию, учили доказывать теоремы, критически мыслить, прививать математическую культуру, а не заучивать рецепты из чисел и знаков =) Лучше бы рассказывали меньше, но подробнее, так, чтобы человек на всю жизнь запоминал и, самое главное, понимал. Что такая практика вошла в норму в школах - более чем печально..
С посещением лекций мех.мата, думаю, ничего не получится. Можно было бы посещать лекции НМУ, но для них, опять же, нужна хорошая база и знания за пределами школьной программы, ну и время, конечно. С Зоричем должно что-то получиться, часть материала я прослушал за год, что-то общее, я думаю, осталось. Мня больше волнует сам процесс. Как Вы, например, читаете/читали учебники по математическим дисциплинам? Пропускаете что-нибудь, учите ли доказательства, воспроизводите ли их? дело в том, что я совершенно не знаком с изучением теории..

[Nikgamer]

Обычно так - отталкиваясь от того, что у меня есть в программе, ищу соотв. теоремы/разделы еще что-нибудь и внимательно читаю, пытаясь понять док-во. Воспроизводить? Ну разве что на экзамене.
По поводу того, что вы хотите не хотите могу сказать лишь банальщину, вроде "человек сам кузнец собственного счастья". Вы же сами выбрали эконом, шли бы на мехмат, обсуждали мы бы сейчас с вами что-нибудь интересное. Мне самому скучно, потому что по большей части (99%) задачки на посчитать по известному алгоритму. Или интегралы с дифурами.

[InfStudent]

Ну у меня то нет такого пиетета перед математикой нет:  для меня это пусть и интересный но все же прикладной инструмент к задачам информатики и психологии 

[lu]

а математику от А до Я все равно изучить думаю невозможно, да и вообще считаю что надо знать только основное, что тебе в жизни понадобится.
а то всяким ненужным хламом голову забивать тупо =)

[Semisvetikks]

..надо знать только основное, что тебе в жизни понадобится..

простым смертным (типа меня) - да, а вот математикам нельзя стоять на месте, ведь кто-то должен двигать математический прогресс ))
еще много неизученного, как говорится, широкий простор (для мечты и для жизни^^)
ну, это на мой дилетантский взгляд.

[What Is My Life]

Со школьной нет проблем, вот с физикой - да... А по математике лучше начинать с репетитором+60%стремления к познанию, школьными часами ничего не добьешься...

[NELL]

Я тоже согласна с lu. Изучать математику от корки до корки, заучивать теоремы, изучать литературу и все такое - это, конечно, хорошая тренировка для мозгов, но стоит ли оно того? Для того, чтобы знать любой предмет на отлично нужна хорошая база знаний, которая обычно накапливается еще в школьные годы. Еще с начальных классов необходимо глубже изучать предмет, заниматься самостоятельно, можно и репетитора нанять, на худой конец с родителями заниматься (ну, если они конечно сами нормально учились в школе и все еще помнят). Да и в ВУЗах нам математику читают поверхностно, и большего и не требуют преподаватели. А знаете почему? Да потому что в госстандарте нет большего! Поэтому никто и не заморачивается. И вообще, если начнут каждый предмет углубленно изучать, я не знаю, студенты же сессию не смогут закрыть! Поэтому нас и учат по шаблону решать, а кто на самом деле хочет изучать углубленно предмет, иди и читай сам. Сейчас же, когда уже ты учишься на экономфаке, это время упущено. НО!!! Я не хочу сказать, что не надо изучать математику теперь. Просто изучай то, что тебе на самом деле надо! И не заучивай, а изучай, просто учись применять любую теорему при решении задачи. Лишний хлам в мозгах на фиг не нужен!

[Nikgamer]

Для того, чтобы знать любой предмет на отлично нужна хорошая база знаний, которая обычно накапливается еще в школьные годы. Еще с начальных классов необходимо глубже изучать предмет, заниматься самостоятельно, можно и репетитора нанять, на худой конец с родителями заниматься (ну, если они конечно сами нормально учились в школе и все еще помнят).

Вы меня извините, но как может ребенок 10 лет отроду точно знать, что он хочет изучать метематику и как ему преподавать её на "дополнительном уровне"? Вообще, я бы не сказал, что качество школьного образования низкое. Просто оно как-то по странному принципу построено. Я бы назвал это "сделать всё, чтобы дети разучились думать". Вот потом и появляются выпускники, которые считаю математику сродни истории или прочей гуманитарной фигне, где думать не надо, а нужно лишь запоминать формулки.

Да и в ВУЗах нам математику читают поверхностно, и большего и не требуют преподаватели

Welcome to the НМУ.

И вообще, если начнут каждый предмет углубленно изучать, я не знаю, студенты же сессию не смогут закрыть!

Странно, но на моей кафедре наоборот: те кто  взял минимум спецкурсов и спецсемов  - сдают с трудом (по отзывам по крайней мере), а те кто ходит на всякие доп. главы и другие курсы - всё успевают и еще стипендии имеют.

Я не хочу сказать, что не надо изучать математику теперь. Просто изучай то, что тебе на самом деле надо! И не заучивай, а изучай, просто учись применять любую теорему при решении задачи. Лишний хлам в мозгах на фиг не нужен!

Понимаете в чем дело, даже обладая на данный момент такими серьезными платформами, как вольфрам, матлаб и прочие, все равно, невозможно адекватно анализировать что-то, не понимая теории. Так что тут ровно два варианта. Первый, вы понимаете, что вам математика нужна как прикладная вещь, тогда вы забиваете на всё и учитесь применять те самые результаты, которые наукой получены, не особо над этим задумываясь. Второе, в вас вдруг просыпается что-то, и вы начинаете задаваться вопросами, типа " А почему это так? Откуда это взялось? Нет ли общего случая? Почему это невозможно? и т.д.". То есть просыпается критическое мышление. И вот тогда вы уже способны принести в науку в том числе что-то новое. (ну теоретически по крайней мере)

В общем, я заканчиваю свое словоблудие, хотел бы все таки пожелать автору не заморачиваться с этим. В конце концов, много денег ученому в быдлорашке заработать очень тяжело. Имея диплом экономиста, а еще лучше менеджера, можно легко устроиться на нормальное место, перекладывать бумажки и вбивать данные в компьютер, при этом зарабаытвая себе на бутерброд с колбасой и коньяк.

[InfStudent]

Ну вообще  Nikgamer прав, к примеру есть серьезный инструмент называется осциллограф, но глупо рассчитывать что от него будет хоть какая то польза если ты ничего не знаешь в волновой теории и электричестве. А современные платформы если вы заметили развиваются в сторону все большого применения скриптовых языков или иных средств программирования. И это неспроста: современные задачи математического характера обычно требуют с одной стороны много рутины, которую можно автоматизировать, а с другой стороны другие математические задачи которые требуют большой пластичности алгоритма. Что ж а значит придется писать  программу .
Насчет платформ: мне все больше нравится платформами из: интерпритатора python+библиотеки линейной алгебры numpy+библиотеки для различных численных задач Scipy+Sympy для задач символьной алгебры(от решения СЛАУ и просто уравнений до символьного интегрирования и дифференцирования). И учитывая то что все это добро распространяется под BSD-лицензией и сходных с ней я могу спокофйно все менять под себя и делится софтом с другими, использовать его для любых целей.
Вот например матричные операции:
>> a = numpy.array ([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]], "f")
>>> print a
[[ 1.  2.  3.]
 [ 4.  5.  6.]
 [ 7.  8.  9.]]

>>> tmp = a[:, 0]
>>> print tmp
[ 1.  4.  7.]

>>> tmp2 = a[0:2, 1:3]
>>> print tmp2
[[ 2.  3.]
 [ 5.  6.]]

# Так же работает присваивание
>>> a = numpy.zeros([3, 3], "f")
>>> print a
[[ 0.  0.  0.]
 [ 0.  0.  0.]
 [ 0.  0.  0.]]
>>> a[:, 0] = [n for n in range(3)]
>>> print a
[[ 0.  0.  0.]
 [ 1.  0.  0.]
 [ 2.  0.  0.]]
>>> a = numpy.array ([[1, 2, 3], [4, 5, 6]], "f")
>>> print a
[[ 1.  2.  3.]
 [ 4.  5.  6.]]
>>> b = numpy.array ([[0, 1, 2], [4, -1, 1]], "f")
>>> print b
[[ 0.  1.  2.]
 [ 4. -1.  1.]]

# Поэлементное перемножение
>>> c1 = a * b
>>> print c1
[[  0.   2.   6.]
 [ 16.  -5.   6.]]

# Транспонирование матрицы
>>> bt = b.T
>>> print bt
[[ 0.  4.]
 [ 1. -1.]
 [ 2.  1.]]

# Перемножение матриц
>>> c2 = numpy.dot(a, bt)
>>> print c2
[[  8.   5.]
 [ 17.  17.]]
Все довольно просто если приложить некоторые усилия к изучению теории программирования и математики. А по первому разу может показаться трудным. Кстати сейчас наблюдая интересный процесс того как многие западные ВУЗы используют Python в обучении математики и особенно численным методам в математике. Это видно по учебной англоязычной лит-ре  

[NELL]

Для того, чтобы знать любой предмет на отлично нужна хорошая база знаний, которая обычно накапливается еще в школьные годы. Еще с начальных классов необходимо глубже изучать предмет, заниматься самостоятельно, можно и репетитора нанять, на худой конец с родителями заниматься (ну, если они конечно сами нормально учились в школе и все еще помнят).

Вы меня извините, но как может ребенок 10 лет отроду точно знать, что он хочет изучать метематику и как ему преподавать её на "дополнительном уровне"? Вообще, я бы не сказал, что качество школьного образования низкое. Просто оно как-то по странному принципу построено. Я бы назвал это "сделать всё, чтобы дети разучились думать". Вот потом и появляются выпускники, которые считаю математику сродни истории или прочей гуманитарной фигне, где думать не надо, а нужно лишь запоминать формулки.

По крайней мере ребенок уж знает, какой предмет в школе ему интересен, а какой - нет. И во всяком случае, если этот ребенок и дальше будет знать и изучать этот предмет, то результат будет только лучше.

Да и в ВУЗах нам математику читают поверхностно, и большего и не требуют преподаватели

Welcome to the НМУ.

Спасибо, уже не могу.

И вообще, если начнут каждый предмет углубленно изучать, я не знаю, студенты же сессию не смогут закрыть!

Странно, но на моей кафедре наоборот: те кто  взял минимум спецкурсов и спецсемов  - сдают с трудом (по отзывам по крайней мере), а те кто ходит на всякие доп. главы и другие курсы - всё успевают и еще стипендии имеют.

Чаще такие студенты - слабые студенты, у которых мало желания учиться

Я не хочу сказать, что не надо изучать математику теперь. Просто изучай то, что тебе на самом деле надо! И не заучивай, а изучай, просто учись применять любую теорему при решении задачи. Лишний хлам в мозгах на фиг не нужен!

Понимаете в чем дело, даже обладая на данный момент такими серьезными платформами, как вольфрам, матлаб и прочие, все равно, невозможно адекватно анализировать что-то, не понимая теории. Так что тут ровно два варианта. Первый, вы понимаете, что вам математика нужна как прикладная вещь, тогда вы забиваете на всё и учитесь применять те самые результаты, которые наукой получены, не особо над этим задумываясь. Второе, в вас вдруг просыпается что-то, и вы начинаете задаваться вопросами, типа " А почему это так? Откуда это взялось? Нет ли общего случая? Почему это невозможно? и т.д.". То есть просыпается критическое мышление. И вот тогда вы уже способны принести в науку в том числе что-то новое. (ну теоретически по крайней мере)

А я что, говорю, что не надо знать теорию??

В общем, я заканчиваю свое словоблудие, хотел бы все таки пожелать автору не заморачиваться с этим. В конце концов, много денег ученому в быдлорашке заработать очень тяжело. Имея диплом экономиста, а еще лучше менеджера, можно легко устроиться на нормальное место, перекладывать бумажки и вбивать данные в компьютер, при этом зарабаытвая себе на бутерброд с колбасой и коньяк.

На все 100% согласна с тобой!!!

[sir. Andrey]

Блин как бесят старые моразматики, которые объяснять не умеют, но домашкой по полной загрузят!!!
                  

[Nikgamer]

По крайней мере ребенок уж знает, какой предмет в школе ему интересен, а какой - нет. И во всяком случае, если этот ребенок и дальше будет знать и изучать этот предмет, то результат будет только лучше.

Как правило, в младших классах это сильно зависит от учителя. Если учитель хороший и с ним интересно, то и предмет будет нравиться. И часто зависит это не от квалификации последнего, а от его личных качеств.

А я что, говорю, что не надо знать теорию??

Я не это имел ввиду. Я имел ввиду, что для глубого анализа происходящего, мало прошарить типовые задачки и как-то научиться ворочать типовыми алгоритмами. Разумеется, глубинные познания в теории нужны только если вы решили серьезно этим заниматься, тольк и всего. Соответственно, автор хотел изучать математику, я ему указал два возможных варианта.