Определенные интегралы.

[suricat555]

Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, решить мне пример:

∫⁸₀(√2x + ³√x ) dx

∫⁸₀(√2x)^1/2+ x^1/3 ) dx = 2∫⁸₀x^1/2 + x^1/3 dx = 2*2/3 x^3*2 + 3/4x^4/3 = 4/3 x ^3/2 + 3/4 x^4/3.

Затем вместо X подставляем 8, и 0.

Но с ответом у меня ничего не сходится. может, я что-то делаю неправильно? Подскажите, пожалуйста.

[InfStudent]

Извини а у тебя все выражение под корнем там где 2x?

[suricat555]

Да, 2x под корнем. потом x под корнем третьей степени.

Я подумала, что я неправильно решать начала, и там нужно сделать замену переменной:

t = ⁶√x
x = t⁶
dx = 6t⁵dt

преобразуя выражение, получаем:

2∫⁸₀ (t³+t²)dt

Интегрируем:

2 (1/4 t⁴ + 1/3 t³) dt

Теперь делаем обратную замену, т.е. вместо t подставляем х:

1/2 (x^{1/6 )4} + 2/3 (x^1/6)³ = 1/2 x ^{4/6 + 2/3 x 1/2}.

В ответе:33 1/3

А дорешать последнее выражение у меня не получается...

Этот вариант решения с заменой правильный?

[InfStudent]

Вроде похоже на правду

[suricat555]

1/2 (x^1/6)⁴  + 2/3 (x ^1/6) ³ =

Помогите, пожалуйста, преобразовать.

У меня с дробями в степени проблема - не получается.
В ответе:33 1/3

[Alex van Global]

Подожди, что-то не то. Сейчас подумаю....глоток пивка ещё)))

[suricat555]

Думаю, что с заменой я правильно сделала:

t = 6√x
x = t⁶
dx = 6t⁵dt



2∫₀⁸ (t³+t²)dt

Вот до этого момента, я думаю, все нормально.

[Alex van Global]

 Вторая твоя писанина не верна. Нельзя такую подстановку применять здесь,т.к.выражение ВСЁ становится в - степени.
  Первая, вроде на правду похожа. Сейчас распишу...

[suricat555]

А в каких случаях применяется замена переменной? Если дробное выражение под знаком интеграла?

[Alex van Global]

 Здесь просто нужно применить непосредственное интегрирование..А почему нет?

((2x)^1/2+x^1/3))dx = (2x)^1/2dx+x^1/3dx= ну вынеси 2^1/2 за интеграл,

=2^1/2(x^3/2)/(3/2)+(x^4/3)/(4/3)

[Alex van Global]

 Ну во первых у тебя 2х под корнем, а как ты из выражения ((2х)^{1/2 + x1/3})вытянешь корень из 2 ?

[suricat555]

А разве можно выносить 2 ^1/2?

Я думала, что можно выносить только 2, потому что степень относится как к числу, так и к X.

А это интегрирование мы делаем по формуле:

∫xⁿ = 1 / (n+1) * x^n-1

[Alex van Global]

x^1/3следует понимать, как не показатель степени

[suricat555]

Я поняла, почему Вы вынесли 2 1/2: потому что (2x)^1/2 = 2^1/2 * x^1/2
Так?

[suricat555]

И всё-таки может вынести за знак интеграла корень из 2?

ведь √(2x) можно представить как √2 * √x  ?