Ряды, не догоняю в простом вопросе. Найти сумму ряда

[Alex van Global]

При n=1/2   8A=1  => A=1/8

при n=-1/2   B(-2)*2=1  => B=-1/4

при т=-3/2   C(-4)*(-2)=1  => C=1/8

в сравнении со случаем, где коэффициэнты с одинаковыми степенями приравнивали, условие A+B+C=0 соблюдается, т.к.

1/8 - 1/4 + 1/8 = 0
 
А вот условие 3A-3B-C=1 не совпадает :  3/8 - 3/4 - 1/8 не равно 1   где тогда ошибка?

[Alex van Global]

Это задание такое: найти сумму ряда
    1         1                       1
------ + ------- + ... + ------------------- + ... .
1*3*5    3*5*7            (2n-1)(2n+1)(2n+3)

Если у меня правильно найдены коэффициэнты А=1/8    B=-1/4    C=1/8 ,то
                     1     1           2            1
u_n=---(-----  -  -----  -  ------
                     8    2n-1      2n+1      2n+3

u₁=1/8(1-2/3-1/5)      u₂=1/8(1/3-2/5-1/7)

S_n=1/8*(1 - 2/3 - 1/5 + 1/3 - 2/5 - 1/7 + 1/(2n-1) - 2/(2n+1) - 1/(2n+3)
в итоге S_n получается 1/8*1/3 = 1/24  НО ответ должен быть 2/24 или 1/12  Где может быть ошибка?

[lu]

вы что то вообще не так раскладываете на простейшие дроби, причем тут n??

вы приравниваете коэффициенты правой и левой частей при n^3 n^2 n , при свободных членах , и находите а,в,с...

[Alex van Global]

Например x²+2x+6
              ---------------------=A/(x-1) + B/(x-2) + C/(x-4)
              (x-1)(x-2)(x-4)
освободимся от знаменателей =>

x²+2x+6=A(x-2)(x-4)+B(x-1)(x-4)+C(x-1)(x-2)(выр-е 1) = A(x²-6x+8)+B(x²-5x+4)+C(x²-3x+2   

Дальше по вашему методу:A+B+C=1
                                     -6A-5B-3C=2    =>A=3  B=-7  C=5
                                      8A+4B+2C=6
 НО проще считать, подставляя корни знаменателя x=1  x=2  x=4
Если подставим x=1 в выражение 1, то B=0 C=0  1²+2*1+6 = A(1-2)(1-4) =>9=3A A=3
так и с другими (B C) поступить нужно. Результат тотже !

[Alex van Global]

Как найти сумму такого ряда? 1 + (m-1)/m + [(m-1)/m]² + [(m-1)/m]ⁿ + ... .
 
Никак не могу додуматься(((

[Nikgamer]

убывающая геометрическая прогрессия

[Alex van Global]

А как признаком Коши исследовать сходимисть ряда? Именно этого: сам признак знаю, но вот здесь применить не получается.

3 + (2,1)² + (2,01)³ +...+ [2+(0,1)^n-1] + ... .

[Nikgamer]

Ну брать верхний предел корня н-той степени из общего члена ряда.  Если он больше единицы, ряд расходится, если меньше, то сходится.
lim (n->inf)(2+(0.1)^n-1)^1/n. Вот только в пределе получится единица, это вам не даст никакой информации о сходимости ряда.
А вот есть еще замечательный такой необходимый признак. Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд будет расходящимся (я надеюсь, понятно почему?). Ну, поскольку предел общего члена явно к нулю не стремится, то ряд расходится.

[Alex van Global]

Ясно так-то. А здесь лучше какой признак применять?

1/2 + 3/4 + 5/6 +...+ (2n-1)/2n + ... .   как тут исследовать сходимость ряда? Сравнивать? А с каким?

Понятно, что расходится.

[Alex van Global]

Разве никто ничего не может ответить?

[Nikgamer]

Ну признак необходимый не выполняется же. Общий член ряда не стремится к нулю.

[Alex van Global]

Да-да точно. lim (2-1/n)/2

[Alex van Global]

что означает ! (восклицательный знак) ?

1!/5 + 2!/5² + 3!/5³ +...+ n!/5ⁿ и как исследовать сходимость этого ряда?

[lu]

это факториал

0!=1
1!=1
2!=1*2
3!=1*2*3
...
n!=1*2*3*...*n

[Alex van Global]

 10/7 + 100/9 + 1000/11 +...+10ⁿ/(2n+5) тут не могу исследовать сходимость ряда.

  Давайте, друзья, подключайтесь. Научите Globala рядам!