Ряды, не догоняю в простом вопросе. Найти сумму ряда

[Alex van Global]

Не догоняю в простом вопросе...: Найти сумму ряда: 1      1      1             1
                                                                          ----+----+----+....+---------+... .
                                                                          1*2   2*3  3*4         n*(n+1)
                                            
u_n представил, как  1/n - 1/(n+1)

S_n=? Распишите, кто понимает, подробнее.
                                            

[Alex van Global]

Я не могу понять: если каждый член ряда представить в таком виде и привести их к сумме, то куда девается 1/n , если сумма равна 1-1/(n+1) ?

S=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+...+[1/n-1/(n+1)]=1-1/(n+1)   Куда делось 1/n ?

[lu]

1/n-1/(n+1)

S_n=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+.....+1/(n-1)-1/n + 1/n -1/(n+1) = 1-1/(n+1)  ?

[lu]

сократился

[Alex van Global]

Ясно, спасибо.

[Alex van Global]

                                                        2n+1
а как найти сумму такого ряда?  :  Z=----------------------
                                                     n²(n+1)²

Как тут рассуждать? Мне не важен ответ просто.

[Alex van Global]

Тут что , раскладывать на дроби и придавать значения n=1;2;3 ? Потом найти предел к бесконечности?  А тогда вопрос, как представить ввиде суммы дробей?

[lu]

(2n+1)/(n²(n+1)²) = A/n² + B/(n+1)²
2n+1=A(n+1)²+Bn²
2n+1=A(n²+2n+1)+Bn²

A+B=0
2A=2
A=1     B=-1


(2n+1)/(n²(n+1)²) = 1/n² - 1/(n+1)²

[Alex van Global]

Спасибо, Lu! Как всегда ты помогла)))

[lu]

пожалуйста)

[Alex van Global]

Опять этот вопрос: "Куда девать?"


S_n=(1-1/4)+(1/4-1/9)+(1/9-1/16)+[(n-1)²-1/n²]+[1/n²-1/(n+1)²]+[1/(n+1)²-1/(n+2)²]

Куда деть 1/16 ?  S_n=1-1/(n+2)²=1

[lu]

мда,

=(1-1/4)+(1/4-1/9)+(1/9-1/16)+(1/16-1/25)+....(1/(n-1)²-1/n²)+(1/n²-1/(n+1)²) =1-1/(n+1)²

[lu]

все члены которые попадают в "..." уйдут

[Alex van Global]

Теперь точно понял.

[Alex van Global]

             1                A            B           C
-------------------=------- + ------ + -------
(2n-1)(2n+1)(2n+3)  (2n-1)     (2n+1)    (2n+3)


1 = A(2n+1)(2n+3) + B(2n-1)(2n+3) + C(2n-1)(2n+1)
1 = A(4n²+8n+3) + B(4n²+4n-3) + C(4n²-1)

Тут как?
A+B+C=0
3A-3B-C=1

или n=-1/2 n=-3/2  n=1/2  =>

при n=-1/2 A=0 C=0  B(2n-1)(2n+3)=1
       
                   B(-2)(2)=1   -4B=1    =>   B=-1/4

и т.д. с каждым коэффициентом ?