Числовые ряды, признаки сходимости

[Лестат]

Люди, помогите плз с рядами.
Задания 1-5 : найти сходится или расходится ряд.
1. ( от n=1 до бесконечности) ∑ (n²+3)/(n+1)!
тут вроде используем признак Д'Аламбера. 
2. ( от n=1 до бесконечности) ∑ 1/(ln(n+1))³ⁿ)
я не знаю как это сделать                 
3. ( от n=1 до бесконечности) ∑ (5+n)/(25+n)         
тут, я думаю, тоже использовать признак Д'Аламбера ?
4. ( от n=1 до бесконечности) ∑ sin(2п/3ⁿ)           
это не знаю даже как.
5. ( от n=1 до бесконечности) ∑ 1/( n*√(n+1) )     
тут не знаю что какой признак.
Задания 6,7: исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующиеся ряды.
6. ( от n=1 до бесконечности) ∑ (-1)ⁿ⁺¹(2n+1)/n       
7. ( от n=1 до бесконечности) ∑ (-1)ⁿn/(9n-1)         

[Asix]

Расписал первый пример по признаку Д'Аламбера.
То есть поделил члена (n+1) на член n и застремил все к бесконечности и вроде предел решается легко.
Пишите как решали и вместе дорешаем и разберемся =))

[Nikgamer]

2) используйте признак Коши.
3) здесь не выполняется необходимое условие, общий член не стремится к нулю
4) здесь нужно мажорировать ряд из синусов рядом 2pi/3ⁿ. Мажорант будет сходится по признаку Даламбера. Значит, исходный ряд тоже будет сходится.
5) здесь нужно применить телескопический признак. Напомню его, если ряд ∑2ⁿ*a_2ⁿ сходится, тогда сходится и ряд ∑a_n
6) и 7) Очевидно, что абсолютно сходится ни один из них не будет. А вот условно будет сходится ряд 7) я думаю. А ряд 6) скорее всего расходится. Это можно проверить критерием Коши. Посидите, попробуйте пооценять.

[Лестат]

в 1-м использовал Даламбера, вроде бы получилось

во 2-м не получилось
а какой признак Коши: интегральный или радикальный ?
пытался Даламбером - хрень получается
с помощью интегрального признака ? и если да, то что получится ? о_О. смущает тут степень выражения: ³ⁿ
попробовал через lim ⁿ√(1/((ln(n+1))³ⁿ)), но что-то не знаю как дальше...
я не знаю как его решить, плз хелп..

в 3-м ошибочка:
( от n=1 до бесконечности) ∑ (5+n)/(25+n²)
а как теперь решить?     


в 4-м
получается a_n=sin((2*пи)/(3ⁿ));  b_n=1/(n_α)
и потом lim (a_n/b_n)
или какое b_n брать ?

в 5-м не понял =((

в остальных хз =(((((((

[Nikgamer]

2) можно и интегральным. Обычным проще
3) тогда снизу ряд ограничивается расходящимся рядом 1/5n и следовательно расходится
4) я же сказал, используйте мажорантный признак. Вы в курсе, что sinx<x? Тогда какие вопросы?
5) применяйте телескопический признак сходимости. Я вам его написал. Составляете ряд вида 2ⁿa_2ⁿ. Если такой ряд сходится, то сходится и исходный.
6) и 7) ряды расходятся, так как общие члены ряда не стремятся к нулю.

[Лестат]

можете плз написать 2-е задание
а то не получается
использую радикальный признак Коши, a_n=1/(ln(n+1))³ⁿ;b_n=1/n^α*ln^βn
тогда lim a_n/b_n=...
и дальше не знаю.

[Лестат]

народ еще вопросы по 6-му и 7-му
6) тут получается по Д'Аламберу lim a_n+1/a_n=1, а по т. Лейбница lim a_n=2 ( не равно 0 )
это получается что ряд расходится ?
7) тут получается по Д'Аламберу lim a_n+1/a_n=1, а по т. Лейбница lim a_n=1/9 ( не равно 0 )
это получается что ряд расходится ?

[Alex van Global]

 По признаку Даламбера: Если lim(n->бскн.)(u_n+1/u_n)=D , то ряд сходится при D<1 , и расхоится при D>1         
  Если lim u_n=0 при n->бскн., если предел общего члена ряда равен нулю, то ряд сходится.
 
В признаке Даламбера рассматривается предел отношения двух членов ряда. Так что, если он не равен нулю, то это ни о чём не говорит.

[Nikgamer]

можете плз написать 2-е задание
а то не получается
использую радикальный признак Коши, a_n=1/(ln(n+1))³ⁿ;b_n=1/n^α*ln^βn
тогда lim a_n/b_n=...
и дальше не знаю.

Че это за фигня?
Признак Коши это вот что такое - http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B0%D0%B4%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8

народ еще вопросы по 6-му и 7-му
6) тут получается по Д'Аламберу lim a_n+1/a_n=1, а по т. Лейбница lim a_n=2 ( не равно 0 )
это получается что ряд расходится ?
7) тут получается по Д'Аламберу lim a_n+1/a_n=1, а по т. Лейбница lim a_n=1/9 ( не равно 0 )
это получается что ряд расходится ?

какой признак Даламбера, с ума сошли? Ряды знакопеременные! А признак Даламбера для знакопостоянных.
В этих рядах не выполняется основной признак - общий член ряда ну никак к нулю не стремится.

[Alex van Global]

 Напишите определение, что такое законопеременные и законопостоянные.

[Nikgamer]

Не законо-, а знако-. Что тут объяснять? Если члены принимают положительные и отрицательные значения - то он знакопеременный. А признаки Даламбера, Коши и т.д. для знакопостоянных рядов.

[Машенька]

помогите пожалуйста решить ;

исследовать сходимость ряда:

1)1,1-1,02+1,003-1,0004+.........


2)∑(от n=1 до бесконечности) 4^n/(2^n+1)^2



3)∑(от n=1 до бесконечности)ln(1+1/n^3)


4)1+cosx/1!+cos^2x/2!+cos^3x/3!+.........




5)x/(2+3)+x^2/(2^2+3^2)+x^3/2^3+3^3+........

[Alex van Global]

в первом по признаку Лейбница: в этом знакочередующемся ряду абсолютные члены монотонно убывают - первое условие выполнено. Находим общий член ряда и смотрим: если он стремится к нулю,то ряд сходится.

[Alex van Global]

Общий член ряда в первом задании u_n=(-1)ⁿ⁺¹*(1+[n/10ⁿ]) не стремится к нулю, то ряд расходится.

[Машенька]

спасибо ,первый получился, а что на счет остальных?