Исследовать систему на совместимость

[Агата]

Помогите пожалуйста найти ранг матриц
x₁+4x₂+3x₃+2x₄ = 1
                     x₂-x₃-2x₄ = 2
                    9x₂+5x₃+2x₄ = 4
2x₁+7x₂+7x₃+6x₄ = 0

[Данила]

ну выпишите матрицу,посчитайте определитель....

[Агата]

определитель равен нулю!что дальше???

[Данила]

ищите определители миноров 3го порядка,если они все =0 ,то 2го порядка

[Агата]

ну миноры 3го порядка равны нулю все

[Агата]

а 2го порядка не нулевые, что дальше?

[Alex van Global]

1  4   3   2   1   умножим первую строку на 2 и вычтем из четвёртой.
0  1  -1 -2   2  
0  9   5   2   4
2  7   7   6   0

1   4   3   2   1
0   1  -1  -2  2 прибавим к элементам четвёртой строки соответствующие элементы второй.
0   9   5   2   4
0  -1  1   2   -2

1   4   3   2   1
0   1  -1  -2  2
0   9   5   2   4
0   0   0   0   0

крайний правый столбик состоит из свободных членов, если матрица построена с ними(как я сейчас сделал), то эта матрица называется расширеной.
если отбросить столбик свободных членов получится матрица, так сказать ,просто системы.
Для совместности системы необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был равен рангу расширеной матрицы.
Если бы ,откинув столбец свободных членов, с матрицей системы можно было бы продолжать такие преобразования(превращать строчки в нули).Соответственно и ранг уменьшался бы.
А здесь по крайней мере у меня не получается дальше в нули строчки превращать.
Соответственно ранги расширенной матрицы и матрицы системы равны. Оттуда вывод: система совместна.
Я бы так решил.Может кто-нибудь что-то добавит или меня поправит...

[Asix]

Судя по написанному Alex van Global ранг матрицы равен = 3.

Система несовместна, так как главная матрица 4 х 4, а ранг меньше 4 =))

Вроде так =))

[Агата]

но ведь миноры 3го порядка равны нулю, тогда ранг  матрицы равен 2 ,а ранг расширенной я не знаю как определить=((((
 

[Агата]

Мне кажется, что система не совместима...ну ка старожилы помогите мне=)))

[Alex van Global]

Тут применяется теорема Кронекера-Капелли
Для совместности нужно доказвть, что добавление столбца свободных членов не изменяет ранга. Т.е. что матрица имеет ранг 3 без этого столбца, что 3 с ним. Ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы. Они имеют один и тот же минор. Нужно сравнивать именно ранги!,а не саму матрицу.
А сравнение числа неизвестных с рангом матрицы совместной системы даёт ответ на вопрос:определённая(имеет одно решение) или неопределённая(имеет больше одного решения)
Как связано решение определителя - я не вкурсе. Здесь он равен нулю и что это означает я не знаю. Может кто-нибудь ещё что напишет по этому решению? Найдём-ли истину?

[Alex van Global]

А Вы считали минор 0  1  -1  ?
                            0   9   5
                             2  7   7

[Alex van Global]

Расширенная матрица - это матрица со столбцом свободных членов( ну те, которые без иксов). Нужно сравнить ранг матрицы со столбцом и ранг матрицы без него!

[Агата]

я пожалуй с вами соглашусь, ранги равны 3 => система совместима. Большое спасибо))))

[Asix]

Агата, при нахождении ранга матрицы всегда проще приводить ее к трапециедальному виду, чем считать 50 определителей =))