Решение разных дифференциальных уравнений

[Лестат]

1. Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить значение полученной функции y= φ(x) при x=x₀
y^''=sin³3x, x₀=пи/12, y(0)= -пи²/16, y^'(0)=0   

2. Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка.
2xy^'y^''=y^'2+1     

3. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения, допускающего ронижение порядка.
y^''(1+y)=5y^'2, y(0)=0, y^'(0)=1.     

4. Записать уравнение кривой, проходящей через точку А(1, -2) и обладающей следующим свойством: длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на касательную и кривой, равна абциссе точки касания.   
Должно получится: (x-2,5)²+y²=6,25 , но как делать не знаю =(

Помогите плз, оч прошу.

[lu]

ну в первом можно нарно просто поинтегрировать два раза

2. y'=z,  z=z(x)
y''=z'

2x*z*z'=z²+1

уравнение с разделяющимися переменными

3. y'=p, p=p(y)
y''=p'p
p'p(1+y)=5p²
тоже простое уравнение

[Лестат]

а как проинтегрировать sin³x ?  а 4-е какое будет ?

[Лестат]

а как 4-е сделать ? даж не могу ничё предположить =((

[lu]

уравнение касательной : y-y(x₀)=y'(x₀)(x-x₀)
y - кривая
x₀ - точка касания
y'(x₀) - угловой коэффициент касательной

расстояние от начала координат до касательной
|y'(x₀)x₀-y|/√(1+y'(x₀)²)
отсюда |y'(x₀)x₀-y|/√(1+y'(x₀)²)=x₀, или |xy'-y|=x√(1+y'²)

x²y'²-2xyy'+y²=x²(1+y'²)
-2xyy'+y²=x²   : x²

-2(y/x) y'+(y/x)²=1

y=Ux, U=U(x)   U=y/x
y'=U'x+U

-2U(U'x+U)+U²=1
-2UxU'=1+U²

2UdU/(1+U²)=-dx/x
ln(1+U²)=-lnx+lnc
1+y²/x²=c/x
x²+y²=xc

(1, -2)
1+4=c
c=5

x²-5x+y²=0
(x-2,5)²+y²=6,25

[Лестат]

В 3-м вот такое получается: ∫ dp/5p  =  ∫ dy/(1+y)
(1/5)∫ dp/p = ∫ dy/(1+y)
(1/5)*ln|p|=.... а вот тут не знаю что сделать
ПЛЗ помогите
В 1-м у меня тоже нестыковочка получается :
y'=∫ (1/2)(1-cos6x)dx = (1/2)x - (1/12)sin6x + C₁
 C₁ получается 0
y= ∫ ((1/2)x - (1/12)sin6x)dx=x²/4 + (1/72)cos6x + C₂
при нахлждении С₂ получается что-то непонятное.
ПЛЗ помогите решить

[lu]

3.
dp/p= 5dy/(1+y)
ln(p)=5ln(1+y)+lnC
p=C₁*(1+y)⁵
y'=C₁*(1+y)⁵
y=C₁∫(1+y)⁵+C₂
интегрируйте!

нормально пишите как вы решали, найдем ошибки если есть.
не мне же все за вас решать