В прямоугольном треугольнике АВС

[Вишня]

В прямоугольном треугольнике АВС, из прямого угла А проведены медиана AD биссектриса AK и высота AH. Найти гипотенузу с, если DK=3, KH=2.

Буду благодарна за любые подсказки в решении

[Semen_K]

Вот подсказка. Думаю по рисунку все понятно.

[Вишня]

Спасибо. со всем согласна по чертежу, кроме с/3. У меня через  свойство АН=sqr(ВН*НС), получается не с/3, а - корень из выражения С в квадрате минус сто, деленное на 4.
И еще непонятно как доказывается, что угол ДАК = углу КАН?
И в каком направлении нужно двигаться дальше?

[Semen_K]

Биссектриса АК делит отрезок DH пропорционально прилегающим. сторонам. А они равны C/2 и AH. но ведь они относятся как 3/2. Треугольник ABD - равнобедренный
Следовательно угол BAD равен углу ABD и равен углу НАС. А угол ВАК = углу КАС = 45 град. Следовательно угол DAK = КАН. А дальше двигаться некуда т.к. тругольник ADH прямоугольный, у которого DH = 5, AD = C/2, AH = C/3.  Свяжите их тесными узами теоремы Пифагора и выводите от туда на волю значение С )))

[Semen_K]

А почему у нас не совпали значения АН, это потому что наверное в реальном треугольнике точка К лежит ниже Н.

[Вишня]

О, спасибо огромное. Какую эйфорию испытала, когда дошло решение))

про то, что биссектриса угла треугольника делит противоположную этому углу сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам - не знала. Открыла справочник - проверила))).  Насчет углов альфа - затупила, да действительно, это же очевидно.

Ответ получился 18 корень из5.

[Вишня]

переписывала на чистовик- нашла ошибку. Ответ все таки 6 корень из 5.
П.С. Мало ли кого - нибудь заинтересует задача и понадобится сверить ответ))).

[Semen_K]

Абсолютно правильно) Спасибо за поправку. Я ведь решил задачу только качественно, расчеты не производил.