Определить тип дифференциального уравнения, найти его общее решение

[Livanessa]

определить тип диф. уравнения 2 порядка, найти его общее решение
y''+y'=x*e^-x

[Livanessa]

Вот что сделала:
y(общее)=C1cosx+C2sinx, так как корни характеристического уравнения^ k1=i, k2=-i.
А  дальше как решать, не поняла. Знаю, что нужно правую часть уравнения нужно представить в виде двух функций, но что-то торможу, как, что и каким образом. Помогите, пожалуйста.

[Livanessa]

Ой, стормозила. Общее решение: y=C1*e^0*x+C2*e^-x
тогда y=C1*e+C2*e^-x

[lu]

1. е⁰ = 1
2. так как -1 простой корень характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде
y=x(ax+b)e^-x

[Livanessa]

Еще один косяк нашла:
y(общее)=C1+C2*e^-x, так как e^0*x=1

[lu]

=))

[Livanessa]

1. е⁰ = 1
2. так как -1 простой корень характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде
y=x(ax+b)e^-x

У нас же в правой части многочлен типа a*e^b*x, причем b=k₂=-1/
Тогда вроде частное рашение:y=a*x*e^b*x? Так во всяком случае в моих древних конспектах написано. Но у нас же вместо a х, это что, значит частное решение^y=x²*e^-x?

[lu]

неправильно значит конспект писали) или я что то путаю, хотя наврядли

в правой части стоит многочлен первой степени
поэтому ищем решение в виде (a+bx)*e^-x но так как -1 является корнем характеристического уравнения, решение будем искать в виде х*(a+bx)*e^-x

[Livanessa]

тогда получаю частное решение:
y'=Ae^-x+(Ax+B)*e^-x=(A+Ax+B)*e^-x
y''=(2A+Ax+B)*e^-x
(2A+Ax+B)*e^-x+(A+Ax+B)*e^-x=x*e^-x
сокращаю обе части на e^-x, получаю
(2A+Ax+B)+(A+Ax+B)=x
3A+2Ax+2B=x
Что дальше?

[lu]

неправильно производные же находите, как от произведения надо
y=u*e^v
y'=u'*e^v+uv'*e^v=(u'+u*v')e^v


y=(ax²+bx)e^-x
y'=(2ax+b-ax²-bx)e^-x
y''=(2a-2ax-b-2ax-b+ax²+bx)e^-x

y''+y'=(2ax+b-ax²-bx+2a-2ax-b-2ax-b+ax²+bx)e^-x=xe^-x сокращаем на e^-x

2a-2ax-b=x

{-2a=1        {a=-1/2
{2a-b=0      {b=-1

y=(-x²/2-x)*e^-x
делаем проверку

y'=(-x-1+x²/2+x)*e^-x=(-1+x²/2)*e^-x
y''=(x+1-x²/2)*e^-x

y''+y'=(-1+x²/2+x+1-x²/2)*e^-x=x*e^-x ≡ x*e^-x

[Livanessa]

Можете меня расстрелять, но я всё равно не догоняю. Я нашла предел своих возможностей (или извилин коры?!!).
Может, я неправильно написала условие. но частное решение нужно найти при помощи метода вариации произвольных постоянных.
C'₁(x)*y₁+c₂'*y₂=0
C'₁(x)*y'₁+c'₂*y'₂=x*e^-x
Преобразую первое выражение:
y₁=1
c'₁=-c'₂*y₂
-c'₂*y₂+c'₂*y'₂=x*e^-x
-c'₂*e^-x+c'₂*(e^-x)=x*e^-x
А дальше то что?!!
Убейте, только объясните - во сне это уравнение вижу - третий день решаю и всё без толку. Не понимаю я то, как расписан этот метод в учебнике. Можно, конечно, загнать уравнение в Вольфрам, но хочется-то самой догнать, а не тупо списывать!!!

[Livanessa]

Люди. ну помогите, пожалуйста=)))

[lu]

C₁'+C₂'*e^-x=0
-C₂'*e^-x=x*e^-x

из второго уравнения:
C₂'=- ∫x dx +с1= -x²/2 +c₁
C₁'=∫x*e^-x+c2=-xe^-x-e^-x+c₂