Интегралы

[lu]

не правильно посчитали. когда в квадрат возводили 2*3*2=12

-4+12-9=-1

[Alex van Global]

инт(2-x⁴)/(1+x²)dx
я пытаюсь разложить:инт2/(1+x²)-интx⁴/(1+x²)
=2arctg-...подскажите,как дальше действовать?


инт(e^3x*3^x)dx=(e^3x*3^x)/(3+ln3)
я понимаю,что 3^xdx=3^x/ln3,НО откуда в знаменателе 3+ln3,не понятно
распишите,пожалуйста,как тут действовать,какие формулы применять и как их применить в данных примерах.

[Semen_K]

x⁴/(1+x²)= (x²+1/(x²+1)-1)

[Semen_K]

 integral 3^x e^(3 x) dx=
[делаем замену u = 3^x и  du = 3^x log(3) dx]
 =  integral u^(3/(ln(3)))/(ln(3)) du =
 = 1/(ln(3)) integral u^(3/(ln(3))) du =
[integral u^(3/(ln(3))) = u^(1+3/(ln(3)))/(1+3/(ln(3)))]
 = u^(1+3/(ln(3)))/((1+3/(ln(3))) ln(3))+C
[Обратная замена u = 3^x:]
 = (3^x)^(1+3/(log(3)))/(3+log(3))+constant

[Alex van Global]

Спасибо,Semen_K.А как вы считаете,можно-ли решить,не применяя метод подстановки?Просто этот пример не в том разделе учебника находится,и,скорее всего,его нарисовали))),чтоб его решили не прибегая к методу подстановки.

[lu]

первый пример можно просто
∫(2-x⁴)/(1+x²)dx = ∫[1+(1-x⁴)]/(1+x²)  dx=  ∫dx/(1+x²)  +  ∫(1+x²)(1-x²)/(1+x²) dx =∫dx/(1+x²)  +  ∫(1-x²) dx

[Semen_K]

Пока не знаю как(

[Alex van Global]

интхcos(x²)dx     обьясните,пожалуйста,как менять переменную интегрирования и по каким правилам меняется.Никак понять не могу.Искал,но теория непонятно пишет.Обьясните:у вас лучше получается,особенно у Lu

[lu]

∫ х*cos(x²) dx =∫ cos(x²) x*dx =

x²=t    
дифференцируем, получаем:
2*x*dx=dt
x*dx=dt/2

=1/2 ∫ cos (t) dt = 1/2 sin(t)+c = 1/2 * sin(x²)+c

тут как бы правил нету, необязательно заменять...можно сразу решить
а замена для того, чтобы не путаться, чтобы все наглядно было.

просто как бы вспоминаете таблицу интегралов, и для себя решаете какая формула подходит, какую можно использовать. и так можно сказать подбираете)

P.S. Вот полезный теоретический материал для решения интегралов:
Таблица интегралов
Свойства интегралов
Формулы интегрирования

[lu]

чтобы наглядно было, можно так записать
∫ х*cos(x²) dx =∫ cos(x²) x*dx =1/2 ∫ cos(x²) d(x²)

а потом заменить х²=t

=1/2 ∫ cos(t) d(t)

[Alex van Global]

Мне на этом примере интересно:инт(x²-3x+1)¹⁰(2x-3)dx
как здесь рассуждать?

[lu]

ну смотрите  сперва аргумент можно сказать каждый раз, если стоит произведение, то и то и другое смотрите
смотрите х²-3x+1
найдем производную. d(х²-3x+1)=(2х-3)dx
т.е.  х²-3x+1 можно заменить через t
dt=(2х-3)dx

t¹⁰dt  получится

[lu]

я незнаю как вам объяснить, просто заменяете как вам удобно

[Alex van Global]

интtg²xdx= инт(1/cos²x-1)dx= интdx/cos²x-интdx= tgx-x+const
а тут можно решить другими способами? Покажите плиз!

[Alex van Global]

Обьясните кто-нибудь, как получается          dx
                                                         инт  ------= ln*(lnx)под модулем+const
                                                                x*lnx