предел

[Alex van Global]

Не понимаю,как его тут применить

[Alex van Global]

я тут почитал про бесконечно малые,в частности 1-cosx=x²/2 а тут под cos 3x стоит.

[lu]

а ну тогда лопиталь

[Nikgamer]

В чем проблема?
cos(3x)~1-(3x)²/2
Lim (x->0) 2x²/1-cos(3x) = Lim(x->0) 2x²/1-1+9x²/2 = 4/9

[Alex van Global]

1)  log x=>0   (tgx-sinx)/x³
                        x
2)  log x=>0  ----------------------
                  (1+x)под куб.корнем-1

                 (1+xsinx)под квад.корнем-1
3)  log x=>0 ----------------------------
                         x²
Подскажите с подробным решением

[lu]

попытайтесь сами решить

[Nikgamer]

Ну, во-первых, наверное не log, а все же lim ^_^
Во вторых, вы, я надеюсь, в курсе про теорию бесконечно малых и знакомы с символикой о малого и О большого, иначе я смысла дальнейшего не вижу (хотя вы же на заочном)
Я расскажу на примере 1 примера. Кстати, в нем нельзя применять правила Лопиталя, потому что производные при х->0 обе стремятся к нулю, а это исключающее условие, иначе доказательство правил Лопиталя по теореме Коши было бы неверным)
1) sin(x) = x-x³/3!+o(x³) ; cos(x) = 1-x²/2+o(x³)
    tg(x) = sin(x)/cos(x) = x(1-x²/3!+o(x³)/x) / (1-x²/2+o(x³) = x(1-x²/2+x²/3+o(x³)/x) / (1-x²/2+o(x³) = x+(x³/3)/(1-x²/2+o(x³)
Подставляем
lim(x->0) tg(x)-sin(x)/x³ = lim (x->0) (x+(x³/3)/(1-x²/2+o(x³)-x+x³/3!+o(x³))/x³ = lim(x->0) x³((1/3)/(1-x²/2+o(x³)) +1/6+o(x³)) / x³ = lim(x->0) 1/3+1/6=1/2

[Nikgamer]

Наверняка я тут забыл пару скобок или еще чего, я вам написал сверху формулу для синуса и косинуса, сами на бумаге посчитаете тангенс, на форуме без TeX это нелегко написать, поверьте.

[Марьяна]

если да, то я решила этот предел используя первый замечательный предел и двойным правилом лопиталя))))

[Nikgamer]

если да, то я решила этот предел используя первый замечательный предел и двойным правилом лопиталя))))

Я же говорю, нельзя тут Лопиталить, ибо первые производные при x->0, стремятся к нулю одновременно.

[Марьяна]

ну а вы же сказали что в одном примере можно 2-а раза воспользоваться правилом лопиталя, сначала первый раз получится 0/0 а во сторой  решается.
тогда  вопрос  вы написали 1)sin(x) = x-x^3/3!+o(x^3) cos(x) = 1-x^2/2+o(x^3).это от куда ну cosx=1-x^2/2 это по т. эквив-ти, а вот +o(x^3) и sin(x) = x-x^3/3!+o(x^3)  как вышло???

[Nikgamer]

Формула Эйлера знакома? Комплексная экспонента? Вот оттуда и вышло.
А o(x³) - это порядок малости.

[Nikgamer]

Я значит вас неверно понял, применять правило Лопиталя, если производные обращаются одновременно в ноль нельзя (впрочем, мой лектор утверждает что можно; в частности он привел мне док-во из книжки Зорича, там действительно, можно, вроде ослабить условие, так что смотрите как вам в курсе матана давали и решайте, я просто работаю с бесконечно малыми и мне правила Лопиталя редко бывают нужны, а док-во через т.Коши помню, вот и не использую Лопиталя при одновременном занулении производных)

[Марьяна]

Формула Эйлера знакома? Комплексная экспонента? Вот оттуда и вышло.
А o(x³) - это порядок малости.

а может есть какой нидь под рукой хороший материал по которому понятно  док-во  через т. Коши? как я писала где то , что мне матан приходится изучать самостоятельно,  у меня особая ситуация с математикой.этот сайт находка своего рода для меня..мне только год продержаться , а потом нормального препода датут. если не сложно скиньте какую нидь ссылку...)))

[Nikgamer]

Академотпуск что-ль?
Насчет материала, я бы вам рекомендовал посещать все же лекции, не знаю что у вас там за ситуация такая странная, но лекции - это самое важное.
Пособия, по которым занимаюсь лично я - это Решетняк, Зорич, Фихтенгольц и Рудин.
Насчет теоремы Коши, приведу, так и быть, доказательство краткое, для случая ∞
Пусть есть две непрерывно-дифф. функции f и g
рассмотрим x₁ и x₂. По т.Коши, существует p∈(x₁,x₂ - такое, что
f(x₂)-f(x₁) / g(x₂)-g(x₁) = f'(p)/g'(p)
путем несложных преобразований получаем, что
f(x₂)/g(x₂)=(1-g(sub]1[/sub])/g(x₂))*f'(p)/g'(p)+f(x₁)/g(x₂)
Пусть х₂->b-0 (слева)
Тогда существует d>0 такая, что если x₂ и x₁ принадлежат (b-d, b)
и для p∈(x₁,x₂ задано |f'(p)/g'(p)-A|<e для любого е>0
Тогда f(x₂)/g(x₂) = (1+e)(A+e)+e т.к. по условию g(x₂)->∞ при x₂->b-0
таким образом, получаете
|f(x₂)/g(x₂)-A|<e при x₂∈(b-d', b) 0<d'<d
Для случая А∈R доказано, A=бесконечность - аналогично, только замените в определении предела.

В теме постить прекращаю до прихода Глобала и нового каскада вопросов (а они будут )