Задача с параметром

[jx7e]

x^2-a*e^x Нужно найти значение параметра a, при котором уравнение имеет ровно два различных корня. 
Сегодня на зачете начал делать очень глупо этот номер, в итоге не решил. Дома построил чертеж в Mathematica, по идее все значения a от нуля до единицы исключительно. Можно ли решить этот номер аналитически? Есть какой-нибудь общий способ решения подобных задач?

[jx7e]

*там x^2-a*e^x=0

[jx7e]

Ни у кого не появилось идей? В левой части x^2, в правой части a*e^x, экспонента. Параметр a регулирует растяжение экспоненты. Нужно найти все значения a, при которых парабола и экспонента пересекаются ровно два раза. Очевидно, что параметр неотрицателен, т.к. парабола лежит в 1-ой и 2-ой четвертях. Также очевидно, что одна точка пересечения при неотрицательных значениях a будет всегда. При a=0 точка пересечения одна. Дальше не знаю, как рассуждать. Появилась идея сравнить скорость возрастания экспоненты и правой ветви параболы...но в каких точках?

[ki]

x²=ae^x;
два графика....
x² - парабола с центром в (0;0), ветки - вверх...
ae^x...
при а=0 - прямая y=0 --> один корень...
при a<0 - y=-|a|*e^x - целиком в третьем и четвертом квадрантах - пересечения нет - решения нет...
а>0 - y=ae^x - целиком в первом и втором квадрантах, пересечения/касания с ox нет - всегда 2 корня...различных...

[jx7e]

ki
Второй корень есть не при всех a больше нуля. Ведь при больших значениях a функция e^x возрастает намного быстрее чем правая ветвь параболы, поэтому корня нет, они не пересекаются.

[ki]

хотя да, согласен...не при всех...скорость возрастания экспоненты не учел...

[ki]

Да, скорее всего надо как раз через скорость...
пусть экспонента касается параболы.
тогда скорости их возрастания в этот момент равны...
тогда:
a*e^x₀=x₀²;
a*e^x₀=2x₀;
отсюда x₀=2;
a*e²=4;
a=4/e²;
Проверил в адвансед график...вроде похоже на правду...

[jx7e]

ki
Они же могут не только касаться, но и просто пересекаться..Скорость возрастания экспоненты должна быть меньше скорости возрастания правой ветви параболы, тогда будет пересечение, вроде так. Тогда a*e^x0<2x0. a<2x/e^x. Но в то же время тогда не учитываются случаи, когда три пересечения...Ответ скорее всего промежуток, например при a=0.2 вот как выглдяит график, 2 пересечения:

[ki]

a=4/e² - предельный случай двух точек пересечения
т.е. в итоге 0 < a < a=4/e²

[ki]

Хотя да, не учел уже трех пересечений...черт....

[ki]

Хотя, если учесть, что скорость возрастания экспоненты выше, то имеем тогда ответ только как раз в точке касания...нет?

[jx7e]

ki
Да, точка касания - граничный случай, но всё-таки случаи с тремя пересечениями попадают в интервал 0 < a < a=4/e2...Не представляю, как я это должен был решить на зачете, без чертежных принадлежностей, на нелинованной бумаге.

[ki]

нет, ответ a=4/e²  - единственное значение параметра при двух корнях....
ae^x и 2x  - скорости возрастания.
если a>e² - экспонента быстро возрастает и не пересекает совсем параболу в первом квадранте.
если a<e² - экспонента сперва возрастает медленнее параболы и имеем точку пересечения, но затем экспонента начинает возрастать быстрее и вновь пересекает параболу - 2 точки пересечения...
остается только касание...

Т.е. ответ при a=4/e² два корня...больше  а нет...

[jx7e]

ki
Хм...ну вот навскидку a=1/(2e^2)

тоже два пересечения..

[ki]

Ок, навскидку так навскидку....посмотрите эти графики в области 6<x<7 и увидите точку пересечения y=40(примерно...)
скорость роста экспоненты выше и она по любому достигнет параболы...
Т.е. первое пересечение до того как их скорости сравняются, второе - после...