Решить систему линейных уравнений

[AnnLavigne]

Всем здрасте)
Система такая:
3Х1 + 2Х2 - Х3 - 9Х4 = 12
5Х1 - 3Х2 + 4Х3 - 3Х4 = 3
Х1 + 7Х2 - 6Х3 + Х4 = 5

Я б сама решила, но вот то, что эта СЛАУ не квадратная, а прямоугольная, меня немного настораживает.. 

[lu]

метод гаусса

[Asix]

Данная СЛАУ решается аналогично квадратной по методу Гаусса, только привести ее надо не к треугольному виду, а трапециидальному:

а  а  а  а  а
0  а  а  а  а
0  0  а  а  а

А дальше просто выразить переменные.
Пишите Ваш ход решения, будем проверять и исправлять =))

[AnnLavigne]

Я пишу всё подробно, чтоб легче было найти ошибки:

3  2 -1 -9 12  i2-2i3   3  2   -1 -9  12   i1<->i3    1  7     -6   1   5   i2+i3     1  7  -6   1   5
5 -3  4 -3  3     ~      3 -17 16 -1  -7       ~       3  -17  16  -1  -7    ~       0 -15 15 -10 5
1  7 -6  1  5              1  7   -6  1   5                 3  2     -1  -9  12             3  2   -1  -9  12

вот пока что так.. )

[Asix]

Для начала я бы просто поменял 1-ю и 3-ю строку местами
3  2 -1 -9 12
5 -3  4 -3  3 
1  7 -6  1  5     

1  7 -6  1  5   
5 -3  4 -3  3 
3  2 -1 -9 12

Затем вычел бы из 2-ой строки 5 первых, а из 3-ей строки 3 первых

1   7    -6    1     5   
0  -38   34  -8   -22 
0  -19   17  -12  -3

[AnnLavigne]

ОК, здесь всё ясно.
Теперь по ходу дела нужно сделать из "-19" (в 3-ей строке, 2-м столбе) ноль..

Из второй строки вычесть третью:
1   7   -6   1     5
0 -19  17   4    -19
0 -19  17  -12  -3 
правильно ведь?)

[Asix]

Можно было сразу 2 раза вычесть и тогда получила бы последний нужный ноль.

[AnnLavigne]

понятно:
1    7  -6  1    5
0    0   0  16  -16
0  -19 17 -12 -3
 - вот так тогда получится.

Потом, наверное, следует поменять местами 2-ю и 3-ю строчки:
1    7    -6   1      5
0   -19  17  -12   -3
0   0     0    16    -16  ??

[Asix]

Все отлично, Вы решили.
Теперь можете обратно преобразовать, из матрицы в систему и пошагово получать корни снизу вверх.
То есть самая нижняя сторка означает, что 16х₄ = -16, х₄ = -1 и так далее подставлять =))

[AnnLavigne]

В ответе будут одни переменные, выраженные под средством других (кроме Х1)?
Можно спросить ещё один пример на похожую тему?

[AnnLavigne]

*опечатка: (кроме Х4)

[Asix]

Ну тут скорее выраженные через х₃, так как х₄ мы чудесным образом вычислили =))
Спрашивайте =))
Только ждем, Ваших мыслей и действий =))

[AnnLavigne]

Найти общее решение однородной системы линейных уравнений:

Х1  + 2Х2 + 3Х3 + Х4  - Х5 = 0
2Х1 - 2Х2  - 5Х3  - 3Х4 +Х5 = 0
3Х1 - 2Х2 + 3Х3 + 2Х4 - Х5 =0

Вот что я думаю по этому поводу: вычесть 1-ю строку из 2-й и 3-й:

1   2   3   1   -1  0       1   2   3    1  -1  0
2  -2  -5  -3    1  0  ~   1  -4  -8  -4   2  0
3  -2   3   2   -1  0       2  -4   0    1   0  0

[Asix]

Внимательнее посмотрите то, что я писал до этого!
Вам нужны нули, вычитайте не по одному разу, а сразу до нулей!

[AnnLavigne]

Сорри, туплю.
Тогда, если i2-2*i1 и i3-3*i1:

1   2    3   1  -1  0
0  -6 -11  -5   3  0
0  -8  -6  -1   0  0

дальше надо как-то свести к 2-м строчкам, образуя нули в 2-й и 3-й строках?