Крайне очевидно, но непонятно: интеграл от непр функции

[patient]

Всем привет! Вопрос очень простой - почему из того что определённый интеграл от квадрата непрерывной функции равен нулю следует что сама функция равна нулю? Преподаватель требует чёткое доказательство из св-в непрерывности функции, так что элем геометр смысл не проходит...что делать не знаю...

[SmartStudent]

Используй свойства непрерывной функции.

Например действуя методом отпративного, предположи что функция не равна нулю в какой-то точке.

Тогда в силу непрерывности, она не равна нуля в какой-то окрестности этой точки.
А дальше сам думай)

Приди к противоречию, что интеграл не может равняться нулю.

[patient]

Мм...ну ясно что интеграл по этой окрестности в силу положительности функции нулю быть равен не может...но блин - где же тут такая...явная опора на свойства непр ф-ции? =)

[SmartStudent]

"Тогда в силу непрерывности, она не равна нуля в какой-то окрестности этой точки."

Это называется свойство сохранения знака в окрестности)
То есть если функция больше нуля в какой-то точке, то в силу того что она непрерывна ты сможешь выбрать такую окрестность в которой функция тоже больше нуля.


Для разрывной функции ты такого не сможешь сделать.
Поди сделай такое для функции Дирихле))

[patient]

Какое полезное св-во - мимо ушей его сначала пропустил Т.е. "неравенство нулю" мы трактуем как "сохранение" знака? И что бы такое сказать вместо "ясно что" интеграл по такой окрестности не будет ноликом...
Извиняюсь за такое занудство, преподаватель безумно вредный...

[SmartStudent]

Явно посчитай его.

[SmartStudent]

Если функция непрерывна и принимает в точке x0 значение f(x0), то существует окрестность в которой функция не меншье чем f(x0)/2(следствие непрерывности)

У тебя получается, что твой интеграл <= Интеграл от - дельта до дельт от f(x0)/2 который равен
f(x0)*дельта > 0 т.к. оба сомножителя больше нуля.

[patient]

Спасибо огромное, выручил...