Разложить в ряд тейлора, осталось закономерность найти

[getmax]

Не могу найти закономерность,она нужна чтобы найти область сходимости.
\( f(x)=\sqrt{2x+1} \)
В окрестности точки х=4

\( y= 3+\frac{\frac{1}{3}}{1!}(x-4)+\frac{\frac{-1}{27}}{2!}(x-4)^2+\frac{\frac{3}{243}}{3!}(x-4)^3+\frac{\frac{-15}{2187}}{4!}(x-4)^4+\frac{\frac{105}{19683}}{5!}(x-4)^5 \)

[tig81]

Не могу найти закономерность,она нужна чтобы найти область сходимости.
\( f(x)=\sqrt{2x+1} \)
В окрестности точки х=4

\( y= 3+\frac{\frac{1}{3}}{1!}(x-4)+\frac{\frac{-1}{27}}{2!}(x-4)^2+\frac{\frac{3}{243}}{3!}(x-4)^3+\frac{\frac{-15}{2187}}{4!}(x-4)^4+\frac{\frac{105}{19683}}{5!}(x-4)^5 \)

а покажите, как коэффициенты получали/находили

[getmax]

а покажите, как коэффициенты получали/находили

[Hellko]

Там довольно сложная зависимость даже вблизи х=0
вольфрам говорит как - то так:
\( \left(\frac{2n-1}{2}\right)!=\sqrt{\pi}\prod\limits_{i=1}^{n}\frac{2i-1}{2} \)

[getmax]

Я вот на листочке начал писать (-1)^n... Вот надо там в числителе дописать.
Есть варианты?

[Hellko]

Картинко с вольфрама пропала вот:
\( \sum\limits_{n=0}^{+\infty}-\frac{(-1)^n2^{n-1}3^{1-2n}(x-4)^n(n-3/2)!}{\sqrt{\pi}n!} \)
\( (-3/2)!=-2\sqrt{\pi} \)
\( (-1/2)!=\sqrt{\pi} \)

[getmax]

Картинко с вольфрама пропала вот:
\( \sum\limits_{n=0}^{+\infty}-\frac{(-1)^n2^{n-1}3^{1-2n}(x-4)^n(n-3/2)!}{\sqrt{\pi}n!} \)
\( (-3/2)!=-2\sqrt{\pi} \)
\( (-1/2)!=\sqrt{\pi} \)

Спасибо, а по этой закономерности получится найти область сходимости?как думаете?

[getmax]

если попробовать подставлять вместо n числа, то получаются другие значения

[Hellko]

если попробовать подставлять вместо n числа, то получаются другие значения

Первые четыре члена у меня совпали с вашими.
При каком n не верно?

[getmax]

если попробовать подставлять вместо n числа, то получаются другие значения

Первые четыре члена у меня совпали с вашими.
При каком n не верно?

извините, это моя невнимательность.Поговорил с преподавателем,он сказал что можно начать со второго члена, и тогда получается хорошая зависимость.Спасибо, вопрос решили.