Неопр.Интеграл.(тригонометрич)

[getmax]

(sin^8x)dx/(cos^8x)

не могу понять как это решить.Два часа мучался ничего толкового не вышло.
Мне нужно подробно.Спасибо заранее.

P.s.Во вложениях прикрепил на всякий случай

[tig81]

(sin^8x)dx/(cos^8x)

не могу понять как это решить.Два часа мучался ничего толкового не вышло.
Мне нужно подробно.Спасибо заранее.

P.s.Во вложениях прикрепил на всякий случай

Замена \( \rm{tg} \)\( {x}=t \)

[getmax]

я пробовал, получается
tgx=t
t^8dx
dx=dt/1+t^2
И ничего не получается

[tig81]

я пробовал, получается
tgx=t
t^8dx
dx=dt/1+t^2
И ничего не получается

непонятна запись, прикрепляйте картинку

И посмотрите примеры
ссылка

[Юрик]

И ничего не получается

Рекомендую попробовать так.
\( \begin{gathered}  \int {\frac{{{{\sin }^8}x}}{{{{\cos }^8}x}}dx}  = \int {{{\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)}^4}dx}  = \int {\left( {1 - \frac{4}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{6}{{{{\cos }^4}x}} - \frac{4}{{{{\cos }^6}x}} + \frac{1}{{{{\cos }^8}x}}} \right)dx}  = ... \hfill \\ \int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^8}x}}}  = \int {{{\left( {t{g^2}x + 1} \right)}^3}d\left( {tgx} \right)}  = ... \hfill \\ \end{gathered}  \)

[getmax]

И ничего не получается

Рекомендую попробовать так.
\( \begin{gathered}  \int {\frac{{{{\sin }^8}x}}{{{{\cos }^8}x}}dx}  = \int {{{\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)}^4}dx}  = \int {\left( {1 - \frac{4}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{6}{{{{\cos }^4}x}} - \frac{4}{{{{\cos }^6}x}} + \frac{1}{{{{\cos }^8}x}}} \right)dx}  = ... \hfill \\ \int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^8}x}}}  = \int {{{\left( {t{g^2}x + 1} \right)}^3}d\left( {tgx} \right)}  = ... \hfill \\ \end{gathered}  \)

если использовать первый способ.Обьясните как вы получили 1/cos^2x -1 Во втором действии.

[Dimka1]

sin⁸x/cos⁸x =[tg²x]⁴

tg²x=1/cos²x-1

[getmax]

интеграл от 4/cos^2x я смогу найти, а как быть с интегралами 6/cos^4x  и далее??

[Юрик]

Я же Вам дал подсказку (вторая строка)!
Вот ещё одна.
\( \int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^6}x}}}  = \int {{{\left( {t{g^2} + 1} \right)}^2}d\left( {tgx} \right)}  = ... \)

[getmax]

Я же Вам дал подсказку (вторая строка)!
Вот ещё одна.
\( \int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^6}x}}}  = \int {{{\left( {t{g^2} + 1} \right)}^2}d\left( {tgx} \right)}  = ... \)

я не могу понять, как вы пришли к такому виду? и что делать дальше с этим интегралом?

[Dimka1]

1/cos⁶x =[1/cos²x]³

Используете формулу, которую я Вам писал вверху
tg²x=1/cos²x-1

1/cos²x=tg²x+1 и подставляете в верхнюю формулу

[1/cos²x]³=[tg²x+1]³\=[1+tg²x]*[1+tg²x]²=[1/cos²x]*[1+tg²x]² дальше под знак интеграла заносите tgx и тогда сомножитель [1/cos²x] уничтожиться

[getmax]

получится (1+tg^2x)^2d(tgx)  ?
дальше то как?

[Юрик]

\( \int (1+\operatorname{tg}^2x)^2d(\operatorname{tg}x) = \int (1+2\operatorname{tg}^2x+\operatorname{tg}^4x)d(\operatorname{tg}x) = ... \)

ЗЫ. А вообще-то, я Вам рекомендую вернуться к замене, рекомендованной tig81, решение получится более коротким, и, стало быть более рациональным.

[getmax]

tgx=t
dt=dx/1+t^2

так?

t^8dt/1+t^2
 
что дальше?

[Dimka1]

tgx=t

что дальше?

теперь подставляйте сюда

\( \int (1+\operatorname{tg}^2x)^2d(\operatorname{tg}x) = \int (1+2\operatorname{tg}^2x+\operatorname{tg}^4x)d(\operatorname{tg}x) = ... \)