Помогите понять, с чего начать вычисление предела

[Страдалец]

Все доброго дня! Прошу помощи хотя бы с намечанием схемы решения предела Я заочник, и без лекций в учебнике сложно разобраться. Сразу отмечу, что учебники читала, разобранные примеры понимаю. А как свой начать решать - не представляю... Сам предел: lim ln (1+x) / x+ sqrt (x) при x -> 0.
Не могу даже точно ответить, какая это неопределенность. Наугад могу предположить, что 0/0 (если подставить в предел вместо x - нуль).
Дальше просто не представляю, что делать... Направьте меня, если возможно...

[tig81]

Все доброго дня! Прошу помощи хотя бы с намечанием схемы решения предела Я заочник, и без лекций в учебнике сложно разобраться. Сразу отмечу, что учебники читала, разобранные примеры понимаю. А как свой начать решать - не представляю... Сам предел: lim ln (1+x) / x+ sqrt (x) при x -> 0.
Не могу даже точно ответить, какая это неопределенность. Наугад могу предположить, что 0/0 (если подставить в предел вместо x - нуль).
Дальше просто не представляю, что делать... Направьте меня, если возможно...

Правило Лопиталя применять можно?

[tig81]

Все доброго дня! Прошу помощи хотя бы с намечанием схемы решения предела Я заочник, и без лекций в учебнике сложно разобраться. Сразу отмечу, что учебники читала, разобранные примеры понимаю. А как свой начать решать - не представляю... Сам предел: lim ln (1+x) / x+ sqrt (x) при x -> 0.
Не могу даже точно ответить, какая это неопределенность. Наугад могу предположить, что 0/0 (если подставить в предел вместо x - нуль).
Дальше просто не представляю, что делать... Направьте меня, если возможно...

Второй вариант:
1. Логарифм в числителе заменить эквивалентной бесконечно малой
2. В знаменателе вынести общий множитель за скобки
3. Сократить

[Страдалец]

про Лопиталя в моем задании нет никаких оговорок, просто "найти предел".
по второму варианту получится x / (x+sqrt(x)) = x / (x *(1 + 1/sqrt(x)))  - ??
кажется, у меня опечатка в исходном примере, наверное, нужно писать:  lim ln (1+x) / (x+ sqrt (x)) при x -> 0.

еще мне где-то встретилось выражение "Есть пределы, которыми можно пользоваться как "табличными": например, lim ln (1+x) / x = 1, при x -> 0 "конец цитаты".
нельзя ли мне как-то это использовать? (например, как-то оторвать корень из x в знаменателе? тогда остается единица (как из приведенной формулы) и lim  sqrt (x). Или это вообще математический бред?

[tig81]

про Лопиталя в моем задании нет никаких оговорок, просто "найти предел".
по второму варианту получится x / (x+sqrt(x)) = x / (x *(1 + 1/sqrt(x)))  - ??
кажется, у меня опечатка в исходном примере, наверное, нужно писать:  lim ln (1+x) / (x+ sqrt (x)) при x -> 0.

в знаменателе лучше корень вынести

[Страдалец]

Тогда после вынесения за скобку корня из x получится lim sqrt(x) / (sqrt(x) + 1) при х ->0 , так?
а дальше просто путем предположений, что в числителе корень из х стремится к нулю, а в знаменателе - корень из x (то есть тоже нуль) + единица = 1, и получается 0 / 1 = 0. Это и будет ответ? lim ln (1+x) / (x+ sqrt (x)) при x -> 0 равен нулю?

[tig81]

и получается 0 / 1 = 0. Это и будет ответ?

да

[Страдалец]

и получается 0 / 1 = 0. Это и будет ответ?

да

Я извиняюсь за тупость, но если  за скобку выносить не корень из x, а просто x, то получится в итоге lim 1/(1+1/sqrt(x)) при x ->0. А этот вариант предела будет равен единице или нулю?

[tig81]

Я извиняюсь за тупость, но если  за скобку выносить не корень из x, а просто x, то получится в итоге lim 1/(1+1/sqrt(x)) при x ->0. А этот вариант предела будет равен единице или нулю?

0

[Страдалец]

Большое спасибо за помощь!
Не могли бы вы еще глянуть на вложенный рисунок - я этот предел даже описать формулами не могу. Просто подскажите, что это такое? Предел в степени произведения множителей? или это графический глюк - мне кажется, как будто не в одну строку написано- а на самом деле обычный предел произведения множителей?

[Dimka1]

обычный предел, без всякой степени.

Приводится ко 2 замечательному по свойствам логарифмов.

В ответе вроде -5/9, но могу ошибиться, т.к. считал "устно".

[Страдалец]

У меня вроде тоже так получилось, неужели у меня, наконец, получается 
Большое спасибо всем за помощь и подсказки!!!

[tig81]

У меня вроде тоже так получилось, неужели у меня, наконец, получается 

Если долго мучаться, что-нибудь получится.