Решить дифференциальное уравнение второго порядка + задача Коши

[Nesquikko]

Хех, давно я тут не был)
Ребят, помогите с решением. Дошел до определенного момента, а потом застрял
\( y''+6y'-16y=(-10x+1); y(0)=3; y'(0)=6; \)
Составил хар. уравнение:
\( k^2+6k-16=0 \) корни которого 2 и -8
Уоо:
\( y_{oo}=c_{1}*e^{2x}+c_{2}e^{-8x} \)
Далее я нашел Yч.н вот так:
\( f(x)=-10x+1 \rightarrow y=ax+b \)
Далее производные
\( y'=a; y''=0 \)
Подставил в уравнение
\( 0+6*(-10)-16*(-10x+1)=(-10x+1) \)
А вот что дальше делать я не знаю
upd #1: раскрыл все скобки, получилось что 170x=77. Отсюда х приблизительно равен 0.45

[tig81]

\( y=ax+b \)
Далее производные
\( y'=a; y''=0 \)
Подставил в уравнение
\( 0+6*(-10)-16*(-10x+1)=(-10x+1) \)

А чего правую часть подставляете, а не частное решение \( y=ax+b \)? Для него и производные находили...

[Nesquikko]

\( y=ax+b \)
Далее производные
\( y'=a; y''=0 \)
Подставил в уравнение
\( 0+6*(-10)-16*(-10x+1)=(-10x+1) \)

А чего правую часть подставляете, а не частное решение \( y=ax+b \)? Для него и производные находили...

Да переклинило чего-то, думал если уже нашли а, а а это по сути -10 то можно сразу подставлять правую часть
Тогда получается вот так \( 0+6a-16ax+b=(-10x+1) \)
А что дальше то?
upd.
\( 6a-16(A_{x}+b)=(-10x+1) \)
Отсюда
\( 6a-16A_{x}-16b=1-10x \)

[Nesquikko]

Далее:
Прочитав на каком то сайте что последнее уравнение является тождеством, то есть справедливо для всех x, поэтому приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями x в левой и правой части.
Получилось так:\( \left\{\begin{matrix}
-16A=-10 &  & \\
6A-16B=1&  &
\end{matrix}\right. \)
Отсюда:
\( \left\{\begin{matrix}
A=0,625 &  & \\
-16B=1-6*0.625&  &
\end{matrix}\right. \)
В итоге имеем:
\( \left\{\begin{matrix}
A=0,625 &  & \\
B=0.171875&  &
\end{matrix}\right. \)
О.Р будет выглядеть так:
\( y_{oo}=c_{1}*e^{2x}+c_{2}e^{-8x}+0,625x+0,171875 \)

[tig81]

\( 6a-16a{x}-16b=1-10x \)

два многочлена равны, если равны коэффициенты при соответствующих степенях

[tig81]

Далее:
Прочитав на каком то сайте что последнее уравнение является тождеством, то есть справедливо для всех x, поэтому приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями x в левой и правой части.
Получилось так:\( \left\{\begin{matrix}
-16A=-10 &  & \\
6A-16B=1&  &
\end{matrix}\right. \)
Отсюда:
\( \left\{\begin{matrix}
A=0,625 &  & \\
-16B=1-6*0.625&  &
\end{matrix}\right. \)
В итоге имеем:
\( \left\{\begin{matrix}
A=0,625 &  & \\
B=0.171875&  &
\end{matrix}\right. \)
О.Р будет выглядеть так:
\( y_{oo}=c_{1}*e^{2x}+c_{2}e^{-8x}+0,625x+0,171875 \)

арифметику не проверяю, ход решения верный

[Nesquikko]

Далее:
Прочитав на каком то сайте что последнее уравнение является тождеством, то есть справедливо для всех x, поэтому приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями x в левой и правой части.
Получилось так:\( \left\{\begin{matrix}
-16A=-10 &  & \\
6A-16B=1&  &
\end{matrix}\right. \)
Отсюда:
\( \left\{\begin{matrix}
A=0,625 &  & \\
-16B=1-6*0.625&  &
\end{matrix}\right. \)
В итоге имеем:
\( \left\{\begin{matrix}
A=0,625 &  & \\
B=0.171875&  &
\end{matrix}\right. \)
О.Р будет выглядеть так:
\( y_{op}=c_{1}*e^{2x}+c_{2}e^{-8x}+0,625x+0,171875 \)

арифметику не проверяю, ход решения верный

Осталась только задача Коши
Не подскажите как ее решать? А то что то смутно помню(

[tig81]

Осталась только задача Коши
Не подскажите как ее решать? А то что то смутно помню(

у(х)=???
По условию у(0)=3.
Что получаете?
Зная y(x), находите y'(x)=???
По условию y'(0)=6. Что получите?

[Nesquikko]

Осталась только задача Коши
Не подскажите как ее решать? А то что то смутно помню(

у(х)=???
По условию у(0)=3.
Что получаете?
Зная y(x), находите y'(x)=???
По условию y'(0)=6. Что получите?

\( y_{op}=c_{1}*e^{2x}+c_{2}e^{-8x}+0,625x+0,171875 \)
Вместо y подставляю 3, везде вместо х ставлю 0
получается
3=c_{1}+c_{2}+0,171875;
y=c_{1}+c_{2}+0,171875-3 от этого находить производную а потом подставлять 6?
Что то я немного не понимаю

[tig81]

y_{op}=c_{1}*e^{2x}+c_{2}e^{-8x}+0,625x+0,171875
Вместо y подставляю 3, везде вместо х ставлю 0
получается
3=c_{1}+c_{2}+0,171875;

Это одно уравнение
Далее находите производную y'(x) от функции y(x) и затем уже в получение выражение подставляете значения.

[Nesquikko]

y_{op}=c_{1}*e^{2x}+c_{2}e^{-8x}+0,625x+0,171875
Вместо y подставляю 3, везде вместо х ставлю 0
получается
3=c_{1}+c_{2}+0,171875;

Это одно уравнение
Далее находите производную y'(x) от функции y(x) и затем уже в получение выражение подставляете значения.

\( y=c_{1}*e^{2x}+c_{2}e^{-8x}+0,625x+0,171875 \)
\( y'=c_{1}*e^{2x}+c_{2}e^{-8x} \)
А потом это в одну систему уравнений я так понял, да?

[tig81]

\( y=c_{1}*e^{2x}+c_{2}e^{-8x}+0,625x+0,171875 \)
\( y'=c_{1}*e^{2x}+c_{2}e^{-8x} \)

Производная найдена неверно, так как \( (e^u)'=e^u\cdot{u'} \)

[Nesquikko]

\( y=c_{1}*e^{2x}+c_{2}e^{-8x}+0,625x+0,171875 \)
\( y'=c_{1}*e^{2x}+c_{2}e^{-8x} \)

Производная найдена неверно, так как \( (e^u)'=e^u\cdot{u'} \)

Хех, чего то мне не договорили значит по поводу производных
\( y'=c_{1}*e^{2x}*2+c_{2}e^{-8x}*-8 \)

[tig81]

Хех, чего то мне не договорили значит по поводу производных
\( y'=c_{1}*e^{2x}*2+c_{2}e^{-8x}*-8 \)

Возможно, но я не виновата
Теперь находите значение производной в точке 0 и приравнивайте его к 6.

[Nesquikko]

Хех, чего то мне не договорили значит по поводу производных
\( y'=c_{1}*e^{2x}*2+c_{2}e^{-8x}*-8 \)

Возможно, но я не виновата
Теперь находите значение производной в точке 0 и приравнивайте его к 6.

\( 6=c_{1}+c_{2}*-16 \)
как то так)