Задача по теории вероятности. Нужна подсказка.

[Delta3101]

Задача
Телефонная станция предприятия обслуживает 300 номеров. Среднее число звонков составляет 10 звонков в час. Число звонков подчиняется закону Пуассона. Какова вероятность того, что с ОДНОГО номера будет произведено 5 звонков в течение часа?

НАШЛА:
Вероятность того, что с ЛЮБОГО номера будет произведено 5 звонков в течение часа 0,0378
(по закону пуассона P₃₀₀(5)=0.0378)

закон Пуассона P_n(k)=(лямбда^k/k!)*e^{-лямбда}

Вероятность звонка на тел станцию ( с 1 из 300 номеров) 0,03333
(p=лямбда/n=10/300=0.03333)

Загвоздка в том, что нужна вероятность 5ти звонков С ОДНОГО номера!!!!

Помогите, пожалуйста.

[Belthazor4]

P(к звонков за 1 час от одного номера) = (lambda^k/k!)*exp(-lambda)
P(к звонков за 1 час от 300 номеров) = ((300*lambda)^k/k!)*exp(-300*lambda)
так как от 300 номеров в среднем 10 звонков то мат ожидание 300*lambda = 10
lambda = 1/3
подставим в первую строчку
P(5 звонков за 1 час от одного номера) = ((1/3)⁵/5!)*exp(-1/3)=
(3⁵*5!*exp(1/3))^-1 ~= 1/40696 ~= 2.46*10^-5

[Delta3101]

не соглашусь

математическое ожидание - это теоретическое среднее значение случайной величины (10 звонков в час)
по закону Пуассона : Математическое ожидание = лямбда
следовательно лямбда = 10
и по формуле (lambdak/k!)*exp(-lambda) мы найдем не P(к звонков за 1 час от одного номера) , а P(1 звонка в теч часа с одного номера)

[Belthazor4]

не соглашусь

математическое ожидание - это теоретическое среднее значение случайной величины (10 звонков в час)
по закону Пуассона : Математическое ожидание = лямбда
следовательно лямбда = 10

ну здесь X - с.в. для одного номера с распределением (lambdak/k!)*exp(-lambda), для Y - с.в. для 300 номеров - распределение ((300*lambda)k/k!)*exp(-300*lambda). так как 10 звонков было средним для случайной величины Y то и мат ожидание будет 300*lambda, поэтому lambda = 1/3.

и по формуле (lambdak/k!)*exp(-lambda) мы найдем не P(к звонков за 1 час от одного номера) , а P(1 звонка в теч часа с одного номера)

а тогда что такое по твоему за число K ?

[Delta3101]

из указаний к задачам, среди которых эта:
"Вы должны четко представлять, что числовые характеристики имеют вполне определенный смысл. Так, например, математическое ожидание - это теоретическое среднее значение случайной величины, дисперсия - мера рассеяния (разброса, колебаний, вариации) значений случайной величины около среднего значения.  Если случайная величина имеет размерность, то математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение ее имеют ту же размерность, а размерность дисперсии равна квадрату размерности случайной величины."

по формуле Пуассона находим вероятность того, что при очень большом числе испытаний n (n=300), в каждом из которых вероятность события очень мала(p=лямбда/n=10/300=0.03333) событие наступит ровно k раз

а ещё формула Пуассона Pn(k)=((лямбда*t)^k)/k!)*e^{-лямбда*t}
Вероятность появления k событий (из общего числа событий n) за время t при заданной интенсивности лямбда

в данном случае, по-моему, k - это число звонков с любых номеров из 300 в течении t (=1часу) при заданной интенсивности 10 зв/час

[Belthazor4]

ну я же говорю, ты немного не понимаешь что я хочу сказать. Короче вот ща напишу прям дословно все. Начнем с того что у нас есть одна случайная величина Х -количество звонков за я час с одного номера, по условию она принадлежит пуассоновскому распределению, то есть (по пределению) P{X=k} = (lambda^k/k!)*exp(-lambda) , теперь рассмотрим другую случайную величину Y - количество звонков за час с 300 номеров, Y=сумма(X_i) = {по св-ву пуассоновских потоков} = ((300*lambda)^k/k!)*exp(-300*lambda).
В условии говорится что с 300 номеров в среднем 10 звонков, то есть M(Y) = 10, но из вида распределения M(Y) = 300*lambda, поэтому lambda = 1/3. Теперь нас просят найти вер-ть того что с 1-го номера 5 звонков за час, то есть P{X=5} = (lambda⁵/5!)*exp(-1/3) = (3⁵*5!*exp(1/3))^-1 ~= 1/40696 ~= 2.46*10^-5.
Это точное решение. Что именно в нем тебя не устраивает, с твоими указаниями к задаче оно полностью согласуется.

[Belthazor4]

Я понял ты просто зациклилась на том что у тебя одна случайная величина, и ты в нее все данные хочешь применить, а тут просто штука как раз в том что их две случайные величину X и Y

[Delta3101]

То что зациклилась - это точно)))
Кручу эту задачу уже неделю... а новых идей никаких...
Спасибо большое за подробное разъяснение))

[Belthazor4]

=) не за что =)

[Delta3101]

Что думаете по поводу такого варианта?

P₃₀₀(5)=0.0378 Это - вероятность 5 звонков в 300 испытаниях с вероятностью звонка 1/30 по схеме испытаний Бернулли.
Давайте разыграем лотерею среди 300 абонентов с вероятностью выиграть право на очередной звонок (вероятность выигрыша 1/300 в каждом розыгрыше) . Пять талончиков на звонок конкретный абонент выиграет в 300 розыгрышах с вероятностью Р(5/300)= 0,003 по формуле Бернулли.
Умножим вероятность выигрыша конкретного абонента на вероятность события "за час произойдет 5 звонков" Р(5зв)= 0,038.
Окончательно Р(конкр аб. сделает 5 зв)=0,003*0,038=0,0001.

[Delta3101]

В условии говорится что с 300 номеров в среднем 10 звонков, то есть M(Y) = 10, но из вида распределения M(Y) = 300*lambda, поэтому lambda = 1/3.

в таком случае lambda = 1/30

Теперь нас просят найти вер-ть того что с 1-го номера 5 звонков за час, то есть P{X=5} = (lambda⁵/5!)*exp(-1/3) = (3⁵*5!*exp(1/3))^-1 ~= 1/40696 ~= 2.46*10^-5.
Это точное решение. Что именно в нем тебя не устраивает, с твоими указаниями к задаче оно полностью согласуется.

P{X=5} = (lambda⁵/5!)*exp(-lambda) = (30⁵*5!*exp(1/30))^-1 ~= 3,3169*10^-10

[Delta3101]

Что думаете по поводу второго варианта решения?

[Delta3101]

Всё ещё нужен совет))

Что думаете по поводу такого варианта?

P₃₀₀(5)=0.0378 Это - вероятность 5 звонков в 300 испытаниях с вероятностью звонка 1/30 по схеме испытаний Бернулли.
Давайте разыграем лотерею среди 300 абонентов с вероятностью выиграть право на очередной звонок (вероятность выигрыша 1/300 в каждом розыгрыше) . Пять талончиков на звонок конкретный абонент выиграет в 300 розыгрышах с вероятностью Р(5/300)= 0,003 по формуле Бернулли.
Умножим вероятность выигрыша конкретного абонента на вероятность события "за час произойдет 5 звонков" Р(5зв)= 0,038.
Окончательно Р(конкр аб. сделает 5 зв)=0,003*0,038=0,0001.

В условии говорится что с 300 номеров в среднем 10 звонков, то есть M(Y) = 10, но из вида распределения M(Y) = 300*lambda, поэтому lambda = 1/3.

в таком случае lambda = 1/30

Теперь нас просят найти вер-ть того что с 1-го номера 5 звонков за час, то есть P{X=5} = (lambda⁵/5!)*exp(-1/3) = (3⁵*5!*exp(1/3))^-1 ~= 1/40696 ~= 2.46*10^-5.
Это точное решение. Что именно в нем тебя не устраивает, с твоими указаниями к задаче оно полностью согласуется.

P{X=5} = (lambda⁵/5!)*exp(-lambda) = (30⁵*5!*exp(1/30))^-1 ~= 3,3169*10^-10