Полное исследование функции

[storm-pro]

здравствуйте, помогите пожалуйста сделать полное исследование функции y=2x/ln(x)
1-найти область определения функции
2- четность, периодичность
3-точки пересечения с осями координат и интервалы знакопостоянства функции
4-точки разрыва и односторонние пределы ф-и
5-точки экстремума, экстремальные значения, интервалы возрастания и убывания
6-точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости
7- горизонтальные,вертикальные и наклонные ассимптоты
8- исследовать поведение функции при х-> +- бесконечность

[tig81]

в чем возникли сложности?

[Asix]

Вот ссылка на теорию и подробно разобранный пример - ссылка !

[storm-pro]

проблема вообще с исследованием,вот пытаюсь сделать( получается пока так:
1- одз получается x принадлежит (0;1) U (1; +бесконечн.)
2- ф-я общего вида,не периодичная
3- y и x не равны 0 => нет точек пересечения с осями координат
4- гор-я ассимптота y=0
верт-я x=0
наклонных нету т.к. k=0
5- точки разрыва и односторонние пределы...нужно определить характер точек разрыва,не получается(

[tig81]

1- одз получается x принадлежит (0;1) U (1; +бесконечн.)

не ОДЗ, а область определения функции. Не учли, что подлогарифмическая функция должна быть положительной

2- ф-я общего вида,не периодичная

да

3- y и x не равны 0 => нет точек пересечения с осями координат

перепроверьте

4- гор-я ассимптота y=0
верт-я x=0
наклонных нету т.к. k=0

горизонтальные как находили?
аналогично, вертикальные?

5- точки разрыва и односторонние пределы...нужно определить характер точек разрыва,не получается(

Что именно не получается?

+ найти монотонность и точки перегиба?

[storm-pro]

1- так вроде область определения и стоит от нуля...т.е положительные все значения,не считая 1, т.к. тогда значение знаменателя будет обращаться в ноль..и все значения потом до бесконечности..разве не так?
3-ну при х=0 получается знаменатель не существует- значит "х" не может обращаться в 0, значит пересечения с осью ОУ нету... у=0 только при х=0,а х=0 не принадлежит области определения-значит опять же "у" не может равняться =, следовательно нету пересечения с осью ОХ...
4-из пункта 3 соответственно что оси координат ассимптоты-т.к. функция стремится к этим значениям но не пересекает их...

5-точки разрыва и односторонние пределы не получается посчитать сами пределы слева и справа,не понимаю как их считать(.. если вот приближается слева получается lim(2x/lnx)= (-0/-бесконечн.)? или нет?

а монотонность и точки перегиба пока не беру ещё,с разрывом пытаюсь разобраться..

[tig81]

1- так вроде область определения и стоит от нуля...т.е положительные все значения,не считая 1, т.к. тогда значение знаменателя будет обращаться в ноль..и все значения потом до бесконечности..разве не так?

да, верно, неправильно посомтрела

3-ну при х=0 получается знаменатель не существует- значит "х" не может обращаться в 0, значит пересечения с осью ОУ нету...

ну да

у=0 только при х=0,а х=0 не принадлежит области определения-значит опять же "у" не может равняться =, следовательно нету пересечения с осью ОХ...

да

4-из пункта 3 соответственно что оси координат ассимптоты-т.к. функция стремится к этим значениям но не пересекает их...

ну... при х->0 получается конечный предел. Да и на бесконечности функция не стремится к оси ординат
и потеряли вертикальную асимптоту

5-точки разрыва и односторонние пределы не получается посчитать сами пределы слева и справа,не понимаю как их считать(.. если вот приближается слева получается lim(2x/lnx)= (-0/-бесконечн.)? или нет?

слева к чему? К какому значению?

а монотонность и точки перегиба пока не беру ещё,с разрывом пытаюсь разобраться..

ок

[storm-pro]

точно- ещё х=1 вертикальная ассимптота) спасибо..

сначала пытаюсь с 0 разобраться-слева к нулю..получается lim(2x/lnx)=(-0/беск.)=-0?
а справа (0/беск)= 0? в первом тогда минус не учитывается в конечном..и пределы равны? или что то не так делаю?

[tig81]

точно- ещё х=1 вертикальная ассимптота) спасибо..

как по мне, она там только одна

сначала пытаюсь с 0 разобраться-слева к нулю..получается lim(2x/lnx)=(-0/беск.)=-0?

а может слева к 0 стремится? У вас область определения какая?

а справа (0/беск)= 0? в первом тогда минус не учитывается в конечном..и пределы равны? или что то не так делаю?

0/беск - это не 0, а не определенность. Но предел справа, действительно 0

[storm-pro]

слева не может... а справа раскрывать по правилу Лопиталя получается неопределенность? тогда будет 2*х...и тогда получается 0))

[storm-pro]

а с единицей? справа получается lim(2x/lnx)=2/беск=0?
а слева... lim(2x/lnx)=(-2)/беск= -0? или как слева посчитать? или такой же 2/беск=0? тогда они одинаковы и это точка устранимого разрыва?

а с 0-это односторонний предел получается...

[tig81]

а справа раскрывать по правилу Лопиталя

неопределенность 0/00 не раскрывается по правилу Лопиталя

а с единицей? справа получается lim(2x/lnx)=2/беск=0?
а слева... lim(2x/lnx)=(-2)/беск= -0?

Почему в знаменателе 00?

[storm-pro]

да точки разрыва получились...с единицей  получается левый предел -беск, правый +беск, получается точка разрыва 2 рода х=1..

дальше берем производную...получается \( \left( \frac{2lnx-2}{(lnx)^2} \right) \)

приравниваем к 0, получается х=е, или примерно 2.72.. по таблице получается на интервале
(0;1)  производная отрицательная, ф-я убывает
{1} точка разрыва
(1;2,72) производная отрицательная, ф-я убывает
{2,72} производная=0, точка минимума
(2,72;+беск) производная положительная,ф-я возрастает...

теперь чтобы найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости нужно взять вторую производную...

это получается у меня так  \( \frac{\frac{2*(lnx)^2}{x} - \frac{(2lnx-2)*(2lnx)}{x}}{(lnx)^4} \)

как теперь посчитать числитель равный нулю отсюда?

[storm-pro]

получается числитель после упрощения \( lnx*(lnx-1)=0 \)
отсюда lnx=0 и lnx=1
в 1 случае нету решений,во 2 х=е...
по таблице от второй производной получается на интервале
(0;1) вторая производная отрицательная, ф-я выпуклая
{1} точка разрыва
(1;2,72) вторая производная положительная, ф-я вогнутая
{2,72}
(2,72;+беск) вторая производная положительная, ф-я вогнутая

значит точка 2.72 просто точка минимума ф-и,а точек перегиба нет?

[tig81]

получается числитель после упрощения \( lnx*(lnx-1)=0 \)
отсюда lnx=0 и lnx=1
в 1 случае нету решений

почему?

по таблице

что за таблица?

значит точка 2.72 просто точка минимума ф-и,а точек перегиба нет?

получается, что да