Подскажите с дифф.уравнениями

[stanxd]

Доброго времени суток!
При решении РГР по дифф.уравнениям возникла небольшая проблемка - не могу сразу определить тип уравнения и, соответственно, сразу "торможу" и не могу сообразить, как решить
Буду благодарен, если натолкнете на мысль, собственно, вот уравнения:

1) \( (x^2+1)*(2xdx+\cos(y)dy)=2x\sin(y)dx \)

2) \( y=y'*(1+y'^2)^{\frac{1}{2}} \)

3) \( (1+e^y)dx-e^{2y}\cdot\sin(x)dy=0 \)

[Dimka1]

1) в полных дифференциалах
2)возвести в квадрат обе части
3)с разделяющимися переменными

[stanxd]

Dimka1, спасибо!сейчас попробую

[stanxd]

касательно второго, при возведении в квадрат всё равно не пойму,что нужно сделать =(

[tig81]

касательно второго, при возведении в квадрат всё равно не пойму,что нужно сделать =(

а что получается после того, как обе части возвели в квадрат?

[stanxd]

касательно второго, при возведении в квадрат всё равно не пойму,что нужно сделать =(

а что получается после того, как обе части возвели в квадрат?

получил

\( y^2=p^2*(1+p^2) \)

[stanxd]

ну, тобишь, я замену ввел y'=p

получил также совет, что это уравнение лагранжа, но разве оно не имеет вид
\( y=x*phi(y')+ksi(y') \)?
в таком случае, думаю, было бы проще решить, но у нас отсутствует икс, и что-то я не могу понять, что же в таком случае сделать дальше

[Dimka1]

получил
\( y^2=p^2*(1+p^2) \)

Алгебраическое биквадратное уравнение. Находите p (4 корня)
Корни будут вида
p=f(y)

Затем обратные замены для каждого из четырех корней
y'=f(y)

dy/dx=f(y)

dy/f(y)=dx
дальше интегрирование по обеим частям

Выражения будут "страшные" (корень под корнем) , но интегралы считаются легко

[stanxd]

кажется с двумя разобрался
но насчет третьего - там вышла небольшая ошибка, синус должен быть в кубе, то есть
\(
(1+e^y)dx-e^(2y)sin^3(x)dy=0 \)

разделяю переменные и тут же возникает проблема нахождения интеграла вида
\( dx/sin^3(x) \)
вот он не получается, может кто посоветует что?

[Dimka1]

Попробуйте подстановку
tg(x/2)=t

[tig81]

разделяю переменные и тут же возникает проблема нахождения интеграла вида
\( dx/sin^3(x) \)
вот он не получается, может кто посоветует что?

\( \int\frac{dx}{\sin^3x}=\int\frac{\sin{x}dx}{\sin^4x}=\int\frac{\sin{x}dx}{(1-\cos^2x)^2} \)
И замена \( \cos{x}=t \)