Абстрактный вопрос по числовым рядам.

[yulian_o]

Дано что \( \begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix} \) группа положительных чисел которая стремится к нулю.

Нужно доказать или опровергнуть примером что
\( \sum_{n=1}^{\infty } \frac{a_{n}}{n} \)
сходиться.

Также нужно доказать или опровегрнуть что
\( \sum_{n=1}^{\infty } (-1)^{n}a_{n} \)
сходиться.

И по поводу первого и по поводу второго у меня большие проблемы. Нутром чуствую что оба не правильны , но не могу найти примеров.
В случае с первым вопросом перепробовал все варианты тригонометрических фунций
\( \sin (\frac{1}{x}) \)
\( \sin (\frac{1}{x}) * x \)
\( \tan (\frac{1}{x}) \)
\( \tan (\frac{1}{x}) * x \)

их разницы , степени и так далее но ничего не нашел.

Во втором случае есть масса примеров когда ряд не сходится абсолютно ( например \( a_{n} = \frac{1}{n} \)) а вот ряд который условно не сходится при этом выполняя \( \lim_{n \to \infty } a_{n} = 0 \) найти не могу.
Обратите внимание что теорема Лейбница не выполняется поскольку не дано что числа монотонные.

Зарание спасибо за помощь
Юлиан

[tig81]

т.е. вам надо подобрать такой знакопеременный ряд, для которого выполняется необходимое условие сходимости, но он не удовлетворяет условиям теоремы Лейбница?

[yulian_o]

Во второй части да но он еще и не должен сходиться ни условно , ни абсолютно
Если выписать все условия то получается
1) выполняется необходимое условие сходимости
2) не удовлетворяет первое условие (монотонности) теоремы Лейбница ( иначе он будет выполнять оба условия и сходится )
3) не должен сходиться абсолютно
4) не должен сходиться условно

Юлиан

[tig81]

если он не сходится ни абсолютно, ни условно, то он расходится... Или какой еще вариант возможен?

[yulian_o]

Абсолютно верно , он должен расходится и мне нужен пример такого ряда.

[yulian_o]

Нашел пример
определим \( a_{n} \) следующим образом:
для n непарного : \( a_{n} = 0 \)
для n парного \( a_{n} = \frac{2}{n} \)

в итоге если упростить сумму получится \( \sum_{1}^{\infty } \frac{1}{n} \) который расходится


Осталось только найти пример для первой части вопроса:
Дана группа положительных чисел \( \begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix} \) которая стремится к нулю
нужно найти пример такой группы при которой
\( \sum_{1}^{\infty } \frac{a_{n}}{n} \)
расходится

[tig81]

Нашел пример
определим \( a_{n} \) следующим образом:
для n непарного : \( a_{n} = 0 \)
для n парного \( a_{n} = \frac{2}{n} \)

т.е. \( a_n=\frac{(-1)^n+1}{n} \)

в итоге если упростить сумму получится \( \sum_{1}^{\infty } \frac{1}{n} \) который расходится

А что и как упрощали?

Осталось только найти пример для первой части вопроса:
Дана группа положительных чисел \( \begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix} \) которая стремится к нулю
нужно найти пример такой группы при которой
\( \sum_{1}^{\infty } \frac{a_{n}}{n} \) расходится

тут надо думать.

[yulian_o]

Упрощал просто , открыл сумму , получается 0+1+0+1/2+0+/1/3+....=1/1+1/2+1/3 +.... =  \( \sum_{1}^{\infty } \frac{1}{n} \)

[tig81]

Упрощал просто , открыл сумму , получается 0+1+0+1/2+0+/1/3+....=1/1+1/2+1/3 +.... =  \( \sum_{1}^{\infty } \frac{1}{n} \)

с суммой \( \sum_{k=1}^{\infty } \frac{1}{2k} \) соглашусь, но не с такой, как вы написали

[yulian_o]

в случае 1/2k получается 1/2 + 1/4 + 1/6 + ....
посмотрите в открытую сумму которую я написал там есть 1/3 например
1/2k было бы если для парного n : поставили бы 1/n а не 2/n

а на первый ряд ответ:
\( a_{n}=\frac{1}{ln(n)} \)

всего доброго
Юлиан

[tig81]

в случае 1/2k получается 1/2 + 1/4 + 1/6 + ....
посмотрите в открытую сумму которую я написал там есть 1/3 например

возможно...

а на первый ряд ответ:
\( a_{n}=\frac{1}{ln(n)} \)

а точно ведь, спасибо , что написали.